全等三角形指兩個全等的三角形,它們的三條邊及三個角都應對等。全等三角形是幾何中全等之一。根據全等轉換,兩個全等三角形可以平移、旋轉、把軸對稱,或重疊等。
全等的數學符號為:
当使用该符号时,需保证符号两边的角、边一一对应。
定義
當兩個三角形的對應邊及角,完全相等,便是全等三角形。
性質
全等三角形有以下性質:
若三角形ABC與三角形DEF是全等時(如右圖),關係公式為:
下列三對邊長為「對應邊」:
下列三對角為「對應角」:
同時,所有對應邊長及角度均相等:
用途
因為多邊形可由多個三角形組成,所以利用此方法,亦可驗證其它全等的多邊形。
判定
下列五種方法均可驗證全等三角形:
- SSS(Side-Side-Side,邊、邊、邊;三邊):三邊長度相等。
- SAS(Side-Angle-Side,邊、角、邊;兩邊一夾角):兩邊,且夾角相等。
- ASA(Angle-Side-Angle,角、邊、角;兩角一夾邊):兩角,且夾邊相等。
- AAS(Angle-Angle-Side,角、角、邊;兩角一對邊):兩角,且非夾邊相等。
- RHS(Right angle-Hypotenuse-Side,直角、斜邊、邊,又称HL(斜边、直角边);斜股性質):在一对直角三角形中,斜邊及另一條直角邊相等。
下列兩種方法不能驗證為全等三角形:
- AAA(Angle-Angle-Angle,角、角、角):三角相等。不過它是證明相似三角形的一個條件。
- SSA(Side-Side-Angle,邊、邊、角):其中一角相等,且非夾角的兩邊相等。但當該角是直角或鈍角時可驗證全等三角形,RHS便是該角是直角時的情形,其實沒有這個
以上的各方法也可通过三角函数的相关定理证明。这相当于解三角形,即三条边三个角一共六个量、固定其中三个而判断剩下三个量是否有唯一解。
SSS
如右圖
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原因
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邊(一)
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共用邊
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邊(二)
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已知
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邊(三)
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已知
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此时三边已知,三个角可分别由余弦定理计算,由于 在 0°到 180°之间是单调的所以可保证解出唯一值。
SAS
如右圖
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原因
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邊(一)
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共用邊
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角
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已知
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邊(二)
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已知
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此时两边夹一角已知,首先用余弦定理计算第三边,接下来与 sss 的情况相同。
ASA
如右圖
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原因
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角(一)
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共用角
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邊
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已知
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角(二)
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已知
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此时两角夹一边已知,通过三角形内角和得到第三角后用正弦定理计算剩下两边。
RHS
為直角三角形中專用的三角型全等性質 ,即為直角三角形中的SSA ,也稱為斜股性質 ,如右圖
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原因
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直角
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已知
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斜邊
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已知
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邊
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已知
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勾股定理或是直接連兩边的頂端解出剩下一边,即变成 SSS或SAS。
不能驗證全等三角形的条件
AAA
AAA(角、角、角),指兩個三角形的任何三個角都對應地相同。但這不能判定全等三角形,但AAA能判定相似三角形。在幾何學上,當兩條線疊在一起時,便會形一個點和一個角。而且,若該線無限地廷長,或無限地放大,該角度都不會改變。同理,在左圖中,該兩個三角形是相似三角形,這兩個三角形的關係是放大縮小,因此角度不會改變。
這樣,便能得知若邊無限地根據比例加長,角度都保持不變。因此,AAA並不能判定全等三角形。
从正弦定理的角度看, 这个比例的比值可以任意缩放,因此无法唯一确定三边长度。
SSA
SSA(邊、邊、角),也稱為ASS ,指兩個三角形的任一角及另外兩個沒有夾著該角的邊相等。但這不能判定全等三角形。
在右圖中,分別有三角形ABC及三角形DEF,並提供了以下資訊:
那即是SSA。假如在右圖繪畫一個圓形,中心點為點E,半徑為。透過這個圓形便會發現,和沒有改變下,會出現另一個與一樣長度的直線(即圖中的)。這樣便能證明SSA並不能驗證全等三角形,(除非已知。當是直角三角形時應稱為RHS)。
雖然如此,當≥ 90°時,。又⇔,,故可驗證全等三角形。
再次使用正弦定理, 其中已知 、 和 ,可解出 ,但 在 0°到 180°上先升后降导致 有两解,即 可能是钝角或锐角(或退化为只有一解是直角的特殊情况,此处略去),分别对应图中的 和 。然而若已知该三角形是直角或钝角三角形时,可以视情况排除掉其中的一个解、进而唯一确定 ,此时做减法得出 后即可用余弦定理解得最后一边 。
參見
外部連結