相似三角形

相似三角形

如图，三个对应的内角的角度都一样（但边长大小无需一样）的两个三角形，或：对应角相等，对应边成比例的两个三角形称为“相似三角形（similar triangles）”，其对应边之比称为相似比；两个相似比为 1 的相似三角形称为全等三角形。

• 下列三对边长，称为“对应边”

${\overline {AB}}\;{\overline {DE}},{\overline {BC}}\;{\overline {EF}},{\overline {CA}}\;{\overline {FD}}$

• 下列三对角，称为“对应角”

$\angle A\;\angle D,\angle B\;\angle E,\angle C\;\angle F$

当两个三角形相似时，我们利用下面的符号来表示：

$\triangle ABC\sim \triangle DEF$

• 利用上面的符号表示时，必须保持对应角的正确顺序，不可随意排列。

判定

• 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
• 三边成比例的两个三角形相似。
• 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。（注意：与全等类似，两个三角形若两边成比例、且另一角（非夹角）相等，则并不一定相似。）
• 两角分别相等的两个三角形相似（AAA 或 AA）
• 如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似。
• 两个直角三角形的斜边、直角边成比例则相似。

性质

对应角相等

若两个三角形相似，则三个对应角相等。

$\angle A=\angle D,\angle B=\angle E,\angle C=\angle F$

若2个三角形相似，则三个对应边长成比例。除此之外，两三角形对应的中线、高、角平分线、周长均成比例，面积比是相似比的平方。

${\frac {\overline {AB}}{\overline {DE}}}={\frac {\overline {BC}}{\overline {EF}}}={\frac {\overline {CA}}{\overline {FD}}}=k$ 为两个三角形的相似比。

1. 相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
2. 相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
3. 相似三角形周长的比等于相似比。
4. 相似三角形的面积的比等于相似比的平方。

参考文献

• 三角形的全等与相似（英文）