正規子群

在抽象代數中，正規子群或不變子群指一類特殊的子群。由正規子群，可以引導出商群的概念。埃瓦里斯特·伽羅瓦是最早認識到正規子群的重要性的人。

沒有非平凡正規子群的群叫做單群；所有的子群都是正規子群的群叫做戴德金群，非交換的戴德金群又稱漢彌爾頓群。

定義

如果群G的子群N在共軛變換下不變，N即是一個正規子群；就是說對於每個N中元素n和每個G中的元素g，元素gng⁻¹仍在N中。我們寫為

$N\triangleleft G\,\,\Leftrightarrow \,\forall \,n\in {N},\forall \,g\in {G}\ ,gng^{-1}\in {N}$

下列條件等價於子群N在G中是正規子群。其中任何一個都可以用作定義：

1. N 在 G 的元素誘導的共軛變換下不變，即對於G中的所有g，gNg⁻¹ =N。
2. N 在 G 的元素誘導的共軛變換下的象集為自己的子集，即對於G中的所有g，gNg⁻¹ ⊆ N。
3. N在G中的左陪集的集合和右陪集的集合是一致的。
4. 對於G中的所有g，gN = Ng。
5. N是G的若干共軛類的併集。
6. G 中的任何兩個元素，在相乘後是正規子群成員的關係下是可交換的，即 $\forall g,h\in G,gh\in N\iff hg\in N$。
7. 存在以N為核的G的群同態：$\exists \phi \in \mathrm {Hom} (G):\mathrm {ker} \phi =N$。

注意條件（1）邏輯上弱於條件（2），條件（3）邏輯上弱於條件（4）。為此，條件（1）和條件（3）經常用來證明N在G中是正規子群，而條件（2）和（4）用來證明N在G中是正規子群的推論；而這些條件，尤其條件（7），可用於證明一個群不是單群。

陪集和正規子群

給定一個群G，以及G的一個子群H，G的一個元素a，集合：

$aH=\left\{ax|x\in H\right\}$稱作H關於a的左陪集。a叫做aH的代表元。

類似地，可以定義H關於a的右陪集：

$Ha=\left\{xa|x\in H\right\}$。

可以證明：對於G中的兩個元素a、b，$(a^{-1}b\in H)\Longleftrightarrow (aH\cap bH\neq \varnothing )\Longleftrightarrow (aH=bH)$。因此aH和bH只有兩種關係：相等，或交集為空，即$aH=bH$或者$aH\cap bH=\varnothing$。

於是群G可以被分解成：

$G=\bigcup _{a\in G}aH$

這個分解稱作群G的左陪集分解。類似地有群G的右陪集分解：

$G=\bigcup _{a\in G}Ha$

進一步地，可以證明由$a\sim b\Longleftrightarrow a^{-1}b\in H$所定義的關係是一個等價關係，集合中的每個等價關係都可確定一個等價類，因此每個$aH$是一個等價類。每個$aH$中含有的元素個數是相等的。

此外，群G的左陪集分解與群G的右陪集分解間存在同構：

$\tau :aH\mapsto Ha^{-1}$

因此H的左陪集個數和右陪集個數是相等的，叫做H對G的指數。

對於一般的H，集合$\left\{aH|a\in G\right\}$關於子集的積並不是一個群。對於G中的元素a、b，子集的積$aH\times bH=abH$，但對於$a^{\prime }\in aH,b^{\prime }\in bH$，不一定有$a^{\prime }H\times b^{\prime }H=abH$。群G的正規子群或不變子群H使得$\left\{aH|a\in G\right\}$關於子集的積是這個群的子群。這時H的左陪集和右陪集是一樣的，統稱陪集。陪集組成的群叫做G關於H的商群，記作${\frac {G}{H}}$。商群的目數等於H對G的指數。

例子

• {e}和G自身總是G的正規子群，這兩個正規子群又稱作G的平凡正規子群，而其他所有的正規子群都是非平凡的正規子群。如果G只有平凡正規子群，就叫做簡單群。
• 群G的中心是G的正規子群。
• 群G的交換子群是G的正規子群。
• 一個阿貝爾群（或交換群）的所有子群都是它的正規子群，因為顯然有gH = Hg。不是阿貝爾群，但全部子群都是正規子群的群叫做哈密爾頓群（Hamiltonian group），階數最小的例子是四元數單位$\pm 1,\pm i\pm j,\pm k$對乘法構成的群$Q_{8}$。
• 任何有限維歐幾里得空間中，平移群都是歐幾里得群的正規子群。比如說在3維空間中，先旋轉，平移，再作原來旋轉的逆，結果是原來的平移。先做鏡面對稱，平移，再作原來鏡面對稱的逆，還是原來的平移。將平移按長度分類，就得到一個等價類。平移群是各種長度的平移的併集。

性質

• 滿同態保持正規子群的性質，逆映射也是一樣。

• 直積保持正規子群的性質。
• G的正規子群的正規子群不一定是G的正規子群，即是說正規子群沒有傳遞性。但是，G的正規子群的特徵子群總是G的正規子群。
• G的所有2階的子群都是正規子群。G中每個階為n的子群都包含一個G的正規子群K，它對G的階整除n!。特別地，當p是|G|的最小質因數時，G的所有p階的子群都是正規子群。

參見

• 群
• 子群
• 正規閉包
• 中心化子和正規化子
• 特徵子群
• 等價類
• 可解群
• 同構基本定理
• 理想