圓台
外觀
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![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5c/CroppedCone.svg/220px-CroppedCone.svg.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/db/Truncated_cone.svg/220px-Truncated_cone.svg.png)
圓台,又稱截頂圓錐、圓亭,是幾何學中研究的一類三維形體,指一個圓錐被平行於它的底面的一個平面所截後,截面與底面之間的幾何形體。截面也稱為圓台的上底面,原來圓錐的底面稱為下底面。隨着圓錐形狀不同,圓台的稱呼也不相同。一般說到圓台都是指正圓台,也就是指正圓錐截出的圓台。正圓台和圓形有相同的對稱結構。以下除非另作註明,「圓台」都指正圓台。
性質
[編輯]體積
[編輯]圓台的體積取決於兩底面之間的距離(圓台的高),以及原來圓錐的體積。設為圓台的高,和為稜台的上下底面半徑, 為圓台的體積。由於圓台是由一個平面截去圓錐的一部分(也就是和原來圓錐相似的一個小圓錐)得到,所以計算體積的時候,可以先算出原來圓錐的體積,再減去和它相似的小圓錐的體積。圓錐被平行於底面的平面所截時,截面圓的半徑與底面半徑的比,等於小圓錐和原圓錐的高的比。假設原圓錐的高是,那麼小圓錐的高是。也就是說:
所以:
圓台的體積等於原圓錐體積減去小圓錐的體積:
《九章算術》記載的圓台體積公式:「上下周相乘,又各自乘,並之,以高乘之,三十六而一。」這是將圓周率的值取為3得到的。
表面積
[編輯]圓台的側面展開圖是一個「扇面形」,也就是兩個同心扇形的差。展開圖的面積,就是兩個扇形的面積差,其中是圓台的母線長度:
圓台的表面積St等於圓台的側面積Sc加上兩底的面積Su、Sd。
參看
[編輯]參考資料
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