旋轉曲面

曲線x=2+cos z的一部分繞着z軸旋轉。

旋轉曲面是一條平面曲線C繞它所在平面的一條直線L旋轉一周所生產的曲面，其中曲線C稱之為該旋轉曲面的母線，直線L稱為該旋轉曲面的旋轉軸。

例子包括球面，由圓繞着其直徑旋轉而成，以及環面，由圓繞着外面的一條直線旋轉而成。

面積

如果曲線由參數方程$x(t)$、$y(t)$給出，其中$a<t<b$，且旋轉軸是$y$軸，則旋轉曲面$A$的面積由以下的積分給出：

$A=2\pi \int _{a}^{b}x(t)\ {\sqrt {\left({dx \over dt}\right)^{2}+\left({dy \over dt}\right)^{2}}}\,dt,$

條件是$x(t)$非負。這個公式與古爾丁定理是等價的。

$\left({dx \over dt}\right)^{2}+\left({dy \over dt}\right)^{2}$

來自勾股定理，表示曲線的一小段弧，像弧長的公式那樣。$2\pi x(t)$是這一小段的（重心的）路徑。

如果曲線的方程是y = f(x)，a ≤ x ≤ b，則積分變為：

$A=2\pi \int _{a}^{b}y{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}\,dx$（繞着x軸旋轉），

$A=2\pi \int _{a}^{b}x{\sqrt {1+\left({\frac {dx}{dy}}\right)^{2}}}\,dy$（繞着y軸旋轉）。

這可以由以上的公式推出。

例如，單位半徑的球面由曲線x(t) = sin(t)，y(t) = cos(t)旋轉而得，其中$0<t<\pi$。所以，它的面積為：

$A=2\pi \int _{0}^{\pi }\sin(t){\sqrt {\left(\cos(t)\right)^{2}+\left(\sin(t)\right)^{2}}}\,dt=2\pi \int _{0}^{\pi }\sin(t)\,dt=4\pi .$

對於半徑為r的圓$y(x)={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}$繞着x軸旋轉所得的曲面，

$A=2\pi \int _{-r}^{r}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,{\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{r^{2}-x^{2}}}}}\,dx$

$=2\pi \int _{-r}^{r}r\,{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,{\sqrt {\frac {1}{r^{2}-x^{2}}}}\,dx$

$=2\pi \int _{-r}^{r}r\,dx$

$=4\pi r^{2}\,$

參見

• 旋轉體

參考文獻

• Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 931-937, 1985.
• Goldstein, H. Classical Mechanics, 2nd ed. Reading, MA: Addison-Wesley, p. 42, 1980.
• Gray, A. "Surfaces of Revolution." Ch. 20 in Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica, 2nd ed. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 457-480, 1997.
• Hilbert, D. and Cohn-Vossen, S. "The Cylinder, the Cone, the Conic Sections, and Their Surfaces of Revolution." §2 in Geometry and the Imagination. New York: Chelsea, pp. 7-11, 1999.
• Isenberg, C. The Science of Soap Films and Soap Bubbles. New York: Dover, pp. 79-80 and Appendix III, 1992.