模
环论 |
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在数学的抽象代数中,环上的模(module over a ring)的概念是对向量空间概念的推广,这里不再要求向量空间里的标量的代数结构是域,进而放宽标量可以是环。
因此,模同向量空间一样是加法交换群;在环元素和模元素之间定义了乘积运算,并且环元素和模元素的乘积是符合结合律的[注 1]和分配律的。
模非常密切的关联于群的表示理论。它们还是交换代数和同调代数的中心概念,并广泛的用于代数几何和代数拓扑中。
定义
[编辑]假设R 是环(ring)且1R ∈ R,1R 是其乘法运算的单位元,则左R-模包括一个交换群(M, +),以及一个映射(或运算)⋅ : R × M → M (叫做标量乘法或数积,通常把此运算的值 (r,x) 记作 rx 或是 r ⋅ x,r ∈ R 且 x ∈ M ) ,并且满足以下条件
对所有r,s ∈ R, x,y ∈ M,
有数学家的左模定义并不要求环有单位乘法元素1R,所以他们的定义只含以上前三个条件而排除了第四个条件,并把以上的定义称为"带单位元(1R )的左模"。
一个左R-模M 记作RM,类似的右R-模M 记作MR。
一个右R-模M或MR与左R-模的定义相似,只是环的元素在右边,即其标量乘法是⋅ : M × R → M。在左R-模的定义中,环的元素r 和s 是在M 的元素x 的左边。若R 是可交换的,则左R-模与右R-模是一样的,简称为R-模。
若R 是一个域则R-模就是R-向量空间。模是向量空间的推广,有很多与向量间相同的性质,但通常没基底。
例子
[编辑]- 所有 交换群 M是一个在整数环Z的模,其标量乘法是nx = x + x + ... + x(n个相加)对于n > 0, 0x = 0,以及(-n)x = -(nx)对于n < 0。
- 若R是一个环而n是一个自然数,则 Rn 是一个R-模。
- 若M是一个光滑流形,则由M至实数的光滑函数是一个环R。在M上的所有向量场组成一个R-模。
- 所有 n×n 实数矩阵 组成一个环R。 欧几里得空间Rn 是一个左R-模,当中标量乘法就是矩阵的标量乘法。
- 若R是一个环而I是其中一个 左理想 ,则I是一个左R-模。
子模及同态
[编辑]假设M是左R-模兼N是M的子集。如果对于所有n ∈ N及r ∈ R,乘积rn ∈ N(若是右模,nr),则N是RM的子模(或更准确地,R-子集)。
若M和N是左R-模,若映射 f : M -> N有对所有m, n ∈ M及r, s ∈ R,f(rm + sn) = rf(m) + sf(n),则称映射 f为R-模同态。像其他同态,模同态保存了模的结构。
其他定义及表达法
[编辑]若M是左R-模,则一个R中元素r之作用定义为映射M → M,它将每个x映至rx(或者在右模的情况是xr),这必然是阿贝尔群(M,+)的群自同态。全域M的自同态记作EndZ(M),它在加法与合成下构成一环,而将R的元素r映至其作用则给出从R至EndZ(M)之同态。
如此的环同态R → EndZ(M)称作R在阿贝尔群M上的一个表示。左R-模的另一种等价定义是:一个阿贝尔群M配上一个R的表示。
一个表示称作忠实的,当且仅当R → EndZ(M)是单射。以模论术语来说,这意谓若r是R的元素,且使得对所有M中的x都有rx=0,则r=0。任意阿贝尔群皆可表成整数环Z或其某一商环Z/nZ的忠实表示。
注释
[编辑]- ^ 在同环中的乘法一起用的时候