圓錐

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一個正圓錐和一個斜圓錐。

圓錐也稱為圓錐體,是一種三維幾何體,是平面上一個以及它的所有切線和平面外的一個定點確定的平面圍成的形體。圓形被稱為圓錐的底面,平面外的定點稱為圓錐的頂點尖端,頂點到底面所在平面的距離稱為圓錐的高。通常「圓錐」一詞用來指代正圓錐,也就是圓錐頂點在底面的投影是圓心時的情況。正圓錐可以定義為一個直角三角形繞其中一條直角邊旋轉一周得到的幾何體,這個直角三角形的斜邊稱為圓錐的母線。頂點在底面的投影不在圓心,這樣的圓錐稱為斜圓錐。正圓錐可以由平面截圓錐面得到,斜圓錐則不能。傾斜平面截取圓錐面得到的幾何形體叫做橢圓錐

性質[編輯]

正圓錐是基本的旋轉體之一,由直角三角形以其中一條直角邊所在的直線為旋轉軸進行旋轉得到。三角形的斜邊長稱為圓錐的斜高

體積[編輯]

設圓錐的底面圓半徑r,圓錐的高為h,底面圓面積為S,體積為V,那麼圓錐體的體積可以通過以下公式計算:

V =  \frac{1}{3} S h = \frac{1}{3} \pi r^2 h.

其中底面圓面積:S = \pi r^2.

圓錐的體積公式可以從祖暅原理推出。祖暅原理說明,如果兩個高度相同的立體形體在所有等高截面上面積都相等,那麼它們體積相等。以圓錐底面為基準面,放置一個底面積為 \pi r^2 的正方錐,那麼,在任何的高度0 \le x \le h上,與基準面平行的平面截圓錐的截面面積都等於截正方錐的截面面積。所以圓錐的體積等於正方錐的體積,也就是\frac{1}{3} \pi r^2 h[1]另外,用現代的定積分方法也可以直接計算圓錐的體積公式,方法如下:

\begin{align}
V &= \pi \int \left(\sqrt{x^2+y^2}\right) \, \mathrm{d}z 
  &= \pi \int_0^h \left[\frac{\left(h-z\right)r}{h}\right]^2 \, \mathrm{d}z
  &= \frac{1}{3} \pi r^2 h
\end{align}

表面積和側面積[編輯]

正圓錐的側面可以展開為平面上的一個扇形。這個扇形所在的圓半徑就是圓錐的斜高,對應的圓弧長為底部圓形的周長。設圓錐的斜高為l,斜高可以表示為:l = \sqrt{r^2 + h^2}。設圓錐的表面積S_t,側面積為S_c,側面積(也就是扇形的面積)可以用以下公式計算:

S_c = \pi r l = \pi r \sqrt{r^2 + h^2}

表面積等於側面積與底面圓面積的和,也就是:

S_t = S + S_c = \pi r^2 + \pi r l = \pi r(r+l) = \pi r \left( r + \sqrt{r^2 + h^2} \right).

體重心[編輯]

若實心正圓錐的質量平均分布,其質心位於底面圓心與頂點連線上離頂點0.75 h處。

參考資料[編輯]

參見[編輯]