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環形

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圓環

數學中,環形(annulus)是一個環狀的幾何圖形,或者更一般地,一個環狀的對象。幾何學中通常所說的環形就是圓環,一個大圓盤挖去一個小同心圓盤剩下的部分。

圓環的對稱性非常強,是一個以圓心為對稱中心的中心對稱圖形,也是有無數條對稱軸的軸對稱圖形。圓環的幾何中心就是圓心。一個以圓心為中心,半徑為內外半徑的幾何平均值反演保持圓環整體不變,將內外邊緣互換,內圓內部與外圓外部互換。

一個外半徑 R 內半徑 r 圓環的面積由外圓和內圓面積之差給出:

後一個等式表明圓環面積等於內外半周長之和乘以寬度。

有趣的是,圓環的面積也等於 π 乘以完全位於圓環內部的最長線段的長度一半的平方,這可由勾股定理證明。位於圓環內最長的線段必定和內圓相切,該線段的一半和半徑 rR 能組成一個以 R 為斜邊的直角三角形

這個公式也可通過積分得到,將圓環分解成無窮個寬 dρ面積 ( = 周長 × 寬) 的小環形,從 積分:

拓撲[編輯]

拓撲的意義上來說,平面內一個開環形是由一條簡單閉曲線為外邊緣和其內部一簡單閉曲線為內邊緣之間圍成的區域。環形是最簡單的二連通區域。開環形的基本群 ,基本群的生成元是環內繞內邊緣內部任一點一周的路徑。一個開環形拓撲等價圓柱面 穿孔平面

一個環形的萬有覆疊空間是帶形 ,帶形到環形(同構於圓柱面)的覆疊映射為:

龐加萊-伯克霍夫不動點定理指出閉圓環的任一個保持邊界不動的保面積自同構映射(辛同構)在圓環內部至少有兩個不動點,更一般的保面積的扭曲映射(兩個邊緣轉動方向相反,提升到帶形上看得更清晰)至少有兩個不動點。這個定理來自三體問題,最早由龐加萊1912年提出,他給出了不完整的證明,又稱為「龐加萊最後的幾何定理」;第二年,伯克赫夫第一次給出了完整的證明。

復結構[編輯]

複分析中,複平面上一個(圓)環域 ann(a; r, R) 是由

定義的開區域,這裡 a 是任意複數,0 < r < R < ∞ 。注意環域常定義為開集。

更一般地,如果允許 r = 0,R < ∞ 這個區域又稱以 a 為中心半徑為 R穿孔圓盤r > 0 ,R = ∞ 這個區域共形於 ann(a; 0, 1/r );r = 0,R = ∞ 時這個區域即穿孔複平面。

作為複平面的子集,一個環域可以看作一個黎曼曲面。環域的復結構由半徑的比值 r/R 刻畫。任何 0 < r < R < ∞ 的通常圓環 ann(a; r, R)解析同胚於中心為原點外半徑為 1 的標準環域,同胚映射為:

內半徑 r / R < 1。

穿孔圓盤、穿孔複平面和 0 < r < R < ∞ 的通常圓域是三類復結構不同的黎曼曲面,三者之間均不存在解析同構。任一個不規則的環形區域,或者說二連通域,均解析同胚於標準的環域。

阿達馬三圓定理是關於一個解析函數在環域內的最大值與邊界值關係的論述。

參見[編輯]

參考資料[編輯]