曲线(curve,curved line)是平滑弯曲的线段或线条,也指动点运动方向连续变化的轨迹。
在数学上,一条曲线的定义为:
- 设为一实数区间,即实数集的非空子集,那么曲线c 就是一个连续函数c : I → X 的映像,其中X 为一个拓扑空间。
我们常遇到的平面曲线的拓扑空间为。
若f是单射的,则 c是简单曲线(simple curve)。
若和,f是闭曲线(closed curve)或环圈。
一般来说,当在下一些符合一条方程的点的集合组成一条曲线时,那方程就叫那曲线的曲线方程(curvilinear equation,curve equation)。
例如,是单位圆的曲线方程,因为有且仅有单位圆上的点符合这条方程;因这些点组成一个单位圆,故该方程正代表着平面上的单位圆。
若,则其长度是
例如,若一条平面曲线可表达成标准方程,那么它的长度就是:
其中、为的上下限。
若平面曲线可表达成参数方程,那么它的长度就是:
其中、为的上下限。