普洛尼克数：修订间差异

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2021年3月18日 (四) 09:49的版本

在數學中，普洛尼克数（pronic number），也叫矩形数（oblong number），是两个连续非负整数积，即 $n\times (n+1)$ 。第n个普洛尼克数都是n的三角形数的两倍。开头的几个普洛尼克数是：

0, 2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90, 110, 132, 156, 182, 210, 240, 272, 306, 342, 380, 420, 462, 506, 552, 600, 650, 702, 756, 812, 870, 930, 992, 1056, 1122, 1190, 1260, 1332, 1406, 1482, 1560, 1640, 1722, 1806, 1892, 1980, 2070, 2162, 2256, 2352, 2450, 2550, ...（OEIS數列A002378）

性質

普洛尼克数也可以表达成 $n^{2}+n$ 。
对于第n个普洛尼克数也正好等于头n个偶数的和，也是第n个三角形数的两倍。^[1]
普洛尼克数不可能是奇数，因為它必須為一偶數與奇數之積，而且是三角形数的两倍。^[1]
普洛尼克数的數字根必為2、3、6、9。^{[註 1]}
普洛尼克数的末位數只可能是0、2、6。^{[註 2]}
除了0以外，普洛尼克數也不可能是平方數^{[註 3]}。
除了0以外，普洛尼克數也不可能是次方數。^{[來源請求]}^{[查证请求]}^{[原創研究？]}
除了6以外，普洛尼克數也不可能是完全數。^{[來源請求]}^{[查证请求]}^{[原創研究？]}
一個非負整數是普洛尼克數，若且唯若此數的4倍加1是平方數。^{[查证请求]}^{[來源請求]}^{[原創研究？]}
連續兩個普洛尼克數的平均是平方數。^{[查证请求]}^{[來源請求]}^{[原創研究？]}
显然，2是唯一的一个素普洛尼克数，也是斐波那契数列中唯二的普洛尼克数（另一個是0）^[2]。

特殊的普洛尼克數

同時為普洛尼克數及三角形數的數（不定方程 $x(x+1)={\frac {y(y+1)}{2}}$ ）：最小的幾個為0, 6, 210, 7140, 242556, 8239770,……^[3]^[4]，對應的 $x$ 值分別為0, 2, 14, 84, 492, 2870,……（OEIS數列A053141），對應的 $y$ 值分別為0, 3, 20, 119, 696, 4059,……（OEIS數列A001652）。

註釋

^
若n≡0 (mod 9)，則n×(n+1)≡0×1≡9 (mod 9)
- 若n≡1 (mod 9)，則n×(n+1)≡1×2≡2 (mod 9)
- 若n≡2 (mod 9)，則n×(n+1)≡2×3≡6 (mod 9)
- 若n≡3 (mod 9)，則n×(n+1)≡3×4≡12≡3 (mod 9)
- 若n≡4 (mod 9)，則n×(n+1)≡4×5≡20≡2 (mod 9)
- 若n≡5 (mod 9)，則n×(n+1)≡5×6≡30≡3 (mod 9)
- 若n≡6 (mod 9)，則n×(n+1)≡6×7≡42≡6 (mod 9)
- 若n≡7 (mod 9)，則n×(n+1)≡7×8≡56≡2 (mod 9)
- 若n≡8 (mod 9)，則n×(n+1)≡8×9≡72≡9 (mod 9)
故得證。
^
若n≡0 (mod 10)，則n×(n+1)≡0×1≡0 (mod 10)
- 若n≡1 (mod 10)，則n×(n+1)≡1×2≡2 (mod 10)
- 若n≡2 (mod 10)，則n×(n+1)≡2×3≡6 (mod 10)
- 若n≡3 (mod 10)，則n×(n+1)≡3×4≡12≡2 (mod 10)
- 若n≡4 (mod 10)，則n×(n+1)≡4×5≡20≡0 (mod 10)
- 若n≡5 (mod 10)，則n×(n+1)≡5×6≡30≡0 (mod 10)
- 若n≡6 (mod 10)，則n×(n+1)≡6×7≡42≡2 (mod 10)
- 若n≡7 (mod 10)，則n×(n+1)≡7×8≡56≡6 (mod 10)
- 若n≡8 (mod 10)，則n×(n+1)≡8×9≡72≡2 (mod 10)
- 若n≡9 (mod 10)，則n×(n+1)≡9×10≡90≡0 (mod 10)
故得證。
^ 因為n與(n+1)差1，所以兩數互質，故若n×(n+1)為平方數，則n與(n+1)也皆為平方數，2個平方數差1，則必為0與1，因此唯一的普洛尼克數兼平方數為0=0×1。

参考资料

^ ^1.0 ^1.1 Knorr, Wilbur Richard, The evolution of the Euclidean elements, Dordrecht-Boston, Mass.: D. Reidel Publishing Co.: 144–150, 1975, ISBN 90-277-0509-7, MR 0472300 .
^ McDaniel, Wayne L., Pronic Fibonacci numbers (PDF), Fibonacci Quarterly, 1998, 36 (1): 56–59, MR 1605341
^ Sloane, N.J.A. (编). Sequence A029549 (Triangular numbers that are also pronic numbers). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
^ pronic numbers. NUMBERS APLENTY.

[2] 若n≡0 (mod 9)，則n×(n+1)≡0×1≡9 (mod 9)
若n≡1 (mod 9)，則n×(n+1)≡1×2≡2 (mod 9)

若n≡2 (mod 9)，則n×(n+1)≡2×3≡6 (mod 9)

若n≡3 (mod 9)，則n×(n+1)≡3×4≡12≡3 (mod 9)

若n≡4 (mod 9)，則n×(n+1)≡4×5≡20≡2 (mod 9)

若n≡5 (mod 9)，則n×(n+1)≡5×6≡30≡3 (mod 9)

若n≡6 (mod 9)，則n×(n+1)≡6×7≡42≡6 (mod 9)

若n≡7 (mod 9)，則n×(n+1)≡7×8≡56≡2 (mod 9)

若n≡8 (mod 9)，則n×(n+1)≡8×9≡72≡9 (mod 9)
故得證。

[2] 若n≡1 (mod 9)，則n×(n+1)≡1×2≡2 (mod 9)

[3] 若n≡2 (mod 9)，則n×(n+1)≡2×3≡6 (mod 9)

[4] 若n≡3 (mod 9)，則n×(n+1)≡3×4≡12≡3 (mod 9)

[5] 若n≡4 (mod 9)，則n×(n+1)≡4×5≡20≡2 (mod 9)

[6] 若n≡5 (mod 9)，則n×(n+1)≡5×6≡30≡3 (mod 9)

[7] 若n≡6 (mod 9)，則n×(n+1)≡6×7≡42≡6 (mod 9)

[8] 若n≡7 (mod 9)，則n×(n+1)≡7×8≡56≡2 (mod 9)

[9] 若n≡8 (mod 9)，則n×(n+1)≡8×9≡72≡9 (mod 9)

[3] 若n≡0 (mod 10)，則n×(n+1)≡0×1≡0 (mod 10)
若n≡1 (mod 10)，則n×(n+1)≡1×2≡2 (mod 10)

若n≡2 (mod 10)，則n×(n+1)≡2×3≡6 (mod 10)

若n≡3 (mod 10)，則n×(n+1)≡3×4≡12≡2 (mod 10)

若n≡4 (mod 10)，則n×(n+1)≡4×5≡20≡0 (mod 10)

若n≡5 (mod 10)，則n×(n+1)≡5×6≡30≡0 (mod 10)

若n≡6 (mod 10)，則n×(n+1)≡6×7≡42≡2 (mod 10)

若n≡7 (mod 10)，則n×(n+1)≡7×8≡56≡6 (mod 10)

若n≡8 (mod 10)，則n×(n+1)≡8×9≡72≡2 (mod 10)

若n≡9 (mod 10)，則n×(n+1)≡9×10≡90≡0 (mod 10)
故得證。

[11] 若n≡1 (mod 10)，則n×(n+1)≡1×2≡2 (mod 10)

[12] 若n≡2 (mod 10)，則n×(n+1)≡2×3≡6 (mod 10)

[13] 若n≡3 (mod 10)，則n×(n+1)≡3×4≡12≡2 (mod 10)

[14] 若n≡4 (mod 10)，則n×(n+1)≡4×5≡20≡0 (mod 10)

[15] 若n≡5 (mod 10)，則n×(n+1)≡5×6≡30≡0 (mod 10)

[16] 若n≡6 (mod 10)，則n×(n+1)≡6×7≡42≡2 (mod 10)

[17] 若n≡7 (mod 10)，則n×(n+1)≡7×8≡56≡6 (mod 10)

[18] 若n≡8 (mod 10)，則n×(n+1)≡8×9≡72≡2 (mod 10)

[19] 若n≡9 (mod 10)，則n×(n+1)≡9×10≡90≡0 (mod 10)

[4] 因為n與(n+1)差1，所以兩數互質，故若n×(n+1)為平方數，則n與(n+1)也皆為平方數，2個平方數差1，則必為0與1，因此唯一的普洛尼克數兼平方數為0=0×1。

[knorr-1] 1.0 ^1.1 Knorr, Wilbur Richard, The evolution of the Euclidean elements, Dordrecht-Boston, Mass.: D. Reidel Publishing Co.: 144–150, 1975, ISBN 90-277-0509-7, MR 0472300 .

[5] McDaniel, Wayne L., Pronic Fibonacci numbers (PDF), Fibonacci Quarterly, 1998, 36 (1): 56–59, MR 1605341

[6] Sloane, N.J.A. (编). Sequence A029549 (Triangular numbers that are also pronic numbers). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.

[7] ronic numbers. NUMBERS APLENTY.

[1]

[註 1]

[註 2]

[註 3]

[2]

[3]

[4]

@@ 第11行： / 第11行： @@
 ==性質==
 *普洛尼克数也可以表达成<math>n^2+n</math>。
-*对于第n个普洛尼克数也正好等于头n个[[偶数]]的和，即<math>(2n- 1)^2</math>与[[中心六邊形數]]的差。{{查證請求}}{{來源請求}}{{OR}}
+*对于第n个普洛尼克数也正好等于头n个[[偶数]]的和，也是第n个三角形数的两倍。<ref name="knorr">{{citation
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-*普洛尼克数不可能是奇数，因為它必須為一偶數與奇數之積。{{來源請求}}{{OR}}
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+*普洛尼克数不可能是奇数，因為它必須為一偶數與奇數之積，而且是三角形数的两倍。<ref name="knorr">{{citation
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+ | year = 1975}}.</ref>
 *普洛尼克数的[[數字根]]必為2、3、6、9。{{noteTag|1=
 若n≡0 (mod 9)，則n×(n+1)≡0×1≡9 (mod 9)