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幾何學拓撲學以及數學的相關分支,空間中的用於描述給定空間中一種特別的物件,在空間中有類似於體積、面積、長度或其他高維類似物。點是零維度物件。點作為最簡單的幾何概念,通常作為幾何物理向量圖形和其他領域中的最基本的組成部分。

數學的點-歷史

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亞里士多德的著作《論天體》第三冊已經提到數學中的點沒有大小[1][2],他依此來駁斥柏拉圖將數學的幾何形視為物理實體的構成要素[3](參見正多面體),並強調這與數學思想相違背[4]:「數學的平面沒有厚度,不能構造物理實體。」他論述說,如果數學平面有厚度,那麼數學的線就要有寬度才能夠構成平面,而數學的點必須有大小才能構成線,但數學已經明確定義數學的點沒有大小,柏拉圖的理論與數學相牴觸。從這裏,亞里士多德陳述說,幾何物件只能分割成相同型態的幾何物件(而不會變成其它東西):平面只能分割成平面,而不能分割成線;線只能分割成線,不能分割成點;這樣可以無限分割,而不是像原子論者所說,最後分割到原子(或是基本構成要素)就停止。

因此,早在歐幾里得的《幾何原本》之前,數學的點只用來標示位置的用法已經是共識。亞里士多德提到點的時候,用的字是στιγμὰς,是可見的點(spot),而歐幾里得則(小心翼翼的)採用另一個字σημεῖόν,原意是「標示」(sign):

σημεῖόν ἐστιν, οὗ μέρος οὐθέν.[5]

這句話的意思是:「點是沒有部分(μέρος)的東西」。點沒有部分,也就沒有大小[6]。這論點源自亞里士多德的「部分-整體」理論(part–whole theory):

"the parts are causes of the whole"[7](整體由部份構成。)

幾何原本》的阿拉伯文版將σημεῖόν譯為نقطة[8],意思回到亞里士多德的可見點[9];拉丁文版則將σημεῖόν翻譯為punctum[10],意思是尖物刺成的小洞。

歐幾里得幾何的點

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二維歐式空間中的有限點集(藍色).

歐幾里得幾何是空間中只有位置,沒有大小的圖形。點是整門歐幾里得幾何學的基礎,後者是研究點,的一種科學。歐幾里得最初含糊的定義點作為「沒有部分的東西」。在二維歐式空間,點表示為有序對,第一個數習慣表示水平位置,通常記為,第二個數習慣表示豎直位置,通常記為。這思想很易延伸到三維情況,此時一點表示為有序三元組,第三個數表示高度,通常記為z。更加一般的情況下,點表示為有序n元組,其中n為點所在的空間的維度。

現代數學語言,任何集合的元素都叫「點」,但與三維空間的點可以沒有任何關係。

其他數學分支的點

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點集拓撲的點,定義為拓撲空間中的集合的元素。

儘管點看作是幾何學和拓撲學的主要基本概念,但非交換幾何非點集拓撲等幾何和拓撲理論並不需要點的概念。「非點空間」不是作為集合來定義,而是以某種像幾何的函數空間結構(代數或邏輯的):連續函數代數或集合代數。

算術的點

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1點(Basis Point)定義為「百分之零點零一」(0.01%)或「百分點的一百分之一」,可用符號‱表示。它在計算利率、匯率、股票價格等範疇廣泛應用,這些範疇須計算極微小的百分數。簡單來說,一百點=百分之一(100‱=1%)、一萬點=百分之一百=一(10000‱=100%=1)。比較百分數除了可以用百分點,兩個百分數之間的細微差距也可用點來表達,如4.02%與4.05%相差0.03百分點。

參考資料

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  1. ^ 論天體,第三冊頁面存檔備份,存於互聯網檔案館),Thomas Aquinas 翻譯與註解
  2. ^ 論天體,第三冊頁面存檔備份,存於互聯網檔案館),The Internet Classics Archive
  3. ^ Ancient Atomism, 3. Plato and Platonists頁面存檔備份,存於互聯網檔案館), 史丹佛哲學百科
  4. ^ WHY DOES PLATO'S ELEMENT THEORY CONFLICT WITH MATHEMATICS (PDF). [2016-05-23]. (原始內容存檔 (PDF)於2021-04-02). 
  5. ^ 幾何原本,原文第一冊,定義一頁面存檔備份,存於互聯網檔案館),柏修斯數碼圖書館
  6. ^ Euclid's Elements of Geometry: From the Latin Translation of Commandine, by John Keill
  7. ^ Metaphysics, Book V頁面存檔備份,存於互聯網檔案館), The Internet Classics Archive
  8. ^ Euclid, Elements頁面存檔備份,存於互聯網檔案館),阿拉伯文版
  9. ^ Wiktionary: نقطة. [2016-05-23]. (原始內容存檔於2021-04-02). 
  10. ^ Euclid's Elements in the middle ages, Boethius tradition. [2016-05-23]. (原始內容存檔於2021-04-02).