級數

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無窮級數
\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{k^s}
無窮級數

數學中,一個有窮或無窮的序列u_0,u_1,u_2 \cdots的元素的形式和S稱為級數。序列u_0,u_1,u_2 \cdots中的項稱作級數的通項。級數的通項可以是實數矩陣向量等常量,也可以是關於其他變數的函數,不一定是一個。如果級數的通項是常量,則稱之為常數項級數,如果級數的通項是函數,則稱之為函數項級數。常見的簡單有窮數列的級數包括等差數列等比數列的級數。

有窮數列的級數一般通過初等代數的方法就可以求得。如果序列是無窮序列,其和則稱為無窮級數,有時也簡稱為級數。無窮級數有發散和收斂的區別,稱為無窮級數的斂散性。判斷無窮級數的斂散性是無窮級數研究中的主要工作。無窮級數在收斂時才會有一個發散的無窮級數在一般意義上沒有和,但可以用一些別的方式來定義。

無窮級數的研究更多的需要數學分析的方法來解決。無窮級數一般寫作 a_1 + a_2 +a_3+ \cdots\sum a_n或者\sum_{n=1}^\infty a_n,級數收斂時,其和通常被表示為\sum_{n=1}^\infty a_n

無窮級數的定義[編輯]

(u_n)是一個無窮序列 :u_1, u_2, u_3, ...u_n, ... ,其前n項的和稱為\sum u_n部分和

s_n=u_1+u_2+u_3+...+u_n

(u_n)部分和依次構成另一個無窮序列:s_1, s_2, s_3, ...s_n, ...

這兩個序列合稱為一個級數,記作\sum u_n或者\sum_{n=1}^\infty u_n,其中\sum 符號為求和號

無窮級數的斂散性[編輯]

對於級數\sum_{n=1}^\infty u_n,如果當n趨於正無窮大時,sn趨向一個有限的極限s=\lim_{n\to\infty}s_n,那麼這個無窮級數就叫做是收斂的,s叫做級數\sum_{n=1}^\infty u_n的和。如果極限不存在,這個無窮級數就是發散的。收斂的無窮級數存在唯一的一個和s。這時可以定義級數\sum u_n餘項和R_n=S-S_n

收斂級數的性質[編輯]

  • 若一個無窮級數\sum u_n \ : \ u_1+u_2+u_3+ \cdots +u_n+ \cdots 收斂,其和為s,則如果每一項乘以一個常數a,得到的級數\sum a u_n  : \ au_1+au_2+au_3+...+au_n+...也收斂,且和等於as
  • 收斂的無窮級數可以逐項相加或相減,如有兩個無窮級數:
\sum_{n=1}^\infty u_n = s\sum_{n=1}^\infty v_n = t,則
\sum_{n=1}^\infty u_n \pm v_n =s \pm t.
  • 級數前面加上有限項或減去有限項不影響其斂散性,如:
s=u_1+u_2+u_3+...+u_n+...s=u_{12}+u_{15}+u_{16}+u_{17}+...+u_n+...

這兩個級數的斂散性是一樣的。

  • n趨向無限大時,任何一個收斂級數的通項都趨於0:\lim_{n\to\infty}u_n=0
  • 在一個完備空間中,也可以運用柯西收斂的準則來判斷級數是否收斂:一個無窮級數\sum_{n=1}^ {+ \infty} u_n收斂的充要條件是,對任意 \epsilon > 0 ,總存在 N_ 0 > 0 ,使得任意的 n > m > N_ 0 |s_n - s_m|=|\sum_{k=m+1}^n u_{k}|=|u_{m+1}+u_{m+2}+...+u_{n}| < \epsilon

無窮級數的研究歷史[編輯]

將一個函數展開成無窮級數的概念最早來自14世紀印度馬德哈瓦。他首先發展了冪級數的概念,對泰勒級數麥克勞林級數、無窮級數的有理逼近以及無窮連分數做了研究。他發現了正弦餘弦正切函數等的泰勒展開,還用冪級數計算了 π 的值。他的學生繼承和發展了他關於級數的工作。

17世紀,詹姆斯·格里高利也開始研究無窮級數,並發表了若干函數的麥克勞林展開式。1715年,布魯克·泰勒提出了構造一般解析函數的泰勒級數的方法。18世紀時歐拉又發展了超幾何級數q-級數的理論。

對審斂法的研究[編輯]

14世紀時,馬德哈瓦已經開始討論判別無窮級數斂散性的方法。他提出了一些審斂的準則,後來他的學生將其推廣。

然而在歐洲,審查無窮級數是否收斂的研究一般被認為是從19世紀由高斯開始的。他於1812年發表了關於歐拉的超幾何級數

1 + \frac{\alpha\beta}{1\cdot\gamma}x + \frac{\alpha(\alpha+1)\beta(\beta+1)}{1 \cdot 2 \cdot \gamma(\gamma+1)}x^2 + \cdots.

的論文,提出了一些簡單的收斂準則,並對餘項和以及收斂半徑進行了討論。

柯西提出了嚴格的審斂法的重要性,他證明了兩個收斂級數的乘積不一定是收斂的,同時開始研究嚴格的審斂準則。歐拉高斯各自給出了各種審斂法則。柯西更研究了複函數的冪級數展開。

1826年,阿貝爾在他的關於二項式級數

1 + \frac{m}{1}x + \frac{m(m-1)}{2!}x^2 + \cdots

的論文中更正了柯西的若干個結論,並給出了二項式級數的嚴格的求和方法,指出了連續性在收斂問題中的重要性。

柯西提出的審斂法並不是普遍適用的,只能用於判別某些特定函數的斂散性。同時代的其他數學家,比如拉貝(Joseph Ludwig Raabe)的對數判別法德·摩根對數判別法(被 DuBois-Reymond和普林斯海姆證明對某些函數失效) ,以及貝特朗斯托克斯切比雪夫等人的審斂法也是如此。

對普遍的審斂法則的研究由恩斯特·庫默爾開始,之後的艾森斯坦維爾斯特拉斯尤里斯·迪尼等都曾致力於這一領域。普林斯海姆於1889年發表的論文闡述了完整的普適審斂理論。

對一致連續性的研究[編輯]

1821年,柯西首先開始對一致連續性的研究,但其中有不少錯誤和局限。這些錯誤最早被阿貝爾指出,但首先得出正確結論的是西德爾en:Philipp Ludwig von Seidel)和斯托克斯。1853年,柯西在注意到阿貝爾的批評後重新開展研究,並得到了與斯托克斯一樣的結論。然而,一致連續性的重要性在很長一段時間裡沒有受到重視。

類別[編輯]

幾何級數[編輯]

幾何級數(或等比級數)是指通項為等比數列的級數,比如:

1 + {1 \over 2} + {1 \over 4} + {1 \over 8} + {1 \over 16} + \cdots=\sum_{n=0}^\infty{1 \over 2^n}.

一般來說,幾何級數\sum_{n=0}^\infty z^n收斂若且唯若 |z| < 1。

調和級數[編輯]

調和級數是指通項為 {1 \over n} 的級數:

1 + {1 \over 2} + {1 \over 3} + {1 \over 4} + {1 \over 5} + \cdots =\sum_{n=1}^\infty {1 \over n}

它是發散的。

p-級數[編輯]

p-級數是指通項為\frac{1}{n^p}的級數:

U_p =\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^p}

對於實數值的p,當p > 1 時收斂,當p ≤ 1 時發散。這可以由積分比較審斂法得出。

函數\zeta : p \mapsto U_p黎曼ζ函數在實軸大於1的部分的限制,關於黎曼ζ函數有著名的黎曼猜想

裂項級數[編輯]

\sum_{n=1}^\infty (b_n-b_{n+1})

收斂若且唯若數列bn收斂到某個極限L,並且這時級數的和是b1L

泰勒級數[編輯]

泰勒級數是關於一個光滑函數f 在一點a 附近取值的級數。泰勒函數由函數在點a 的各階導數值構成,具體形式為:


\sum_{n=0}^{\infin} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^{n}

這是一個冪級數。如果它在a 附近收斂,那麼就稱函數f 在點a 上是解析的。

交錯級數[編輯]

具有以下形式的級數

 \sum_{n=0}^\infty (-1)^n a_n\!

其中所有的 an 非負,被稱作交錯級數。交錯級數的收斂通常要藉助萊布尼茨判別法

冪級數[編輯]

形同\sum a_n (x- x_0)^n的函數項無窮級數稱為x- x_0冪級數。它的收斂與否和係數a_n有關。

傅立葉級數[編輯]

任何周期函數都可以用正弦函數餘弦函數構成的無窮級數來表示,稱為傅立葉級數。傅立葉級數是函數項無窮級數,也就是說每項都是一個函數。傅立葉級數在數論組合數學、信號處理、機率論統計學密碼學聲學光學等領域都有著廣泛的應用。

例如,周期為2 \pi的周期函數f(x)可以表示為:

f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos nx +b_n \sin nx), n=1,2,3...

其中,a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos nx dxb_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin nx dx,特別的,a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx

常數項無窮級數(數項級數)[編輯]

正項級數[編輯]

若通項為實數的無窮級數\sum u_n每一項u_n都大於等於零,則稱\sum u_n是一正項級數

如果無窮級數 \sum u_n 是正項級數,則部分和Sn是一個單調遞增數列。由數列極限的判別準則:單調有界數列必有極限。因此,要麼部分和數列Sn有界,這時\sum u_n收斂,\lim_{n \to \infty}S_n =s,要麼部分和數列趨於正無窮,這時級數發散。

比較判別法[編輯]

\sum u_n\sum v_n 是正項級數。

如果存在正實數 M,使得從若干項開始,u_n \le Mv_n(也就是說u_n = O_{\infty} (v_n)),則
  • \sum v_n 收斂時,可推出 \sum u_n 也收斂。
  • \sum u_n 發散時,可推出 \sum v_n 也發散。
如果\lim_{n \to \infty}{u_n \over v_n} =0,則
  • \sum v_n 收斂時,可推出 \sum u_n 也收斂。
  • \sum u_n 發散時,可推出 \sum v_n 也發散。
如果\lim_{n \to \infty}{u_n \over v_n} =1,則\sum v_n\sum u_n 同時收斂或發散。

比如,我們已知級數:\sum {1 \over n^2}收斂,則級數:\sum {|\sin n | \over n^2}也收斂,因為對任意的 n\sin n \le 1

比較判別法的特點是要已知若干級數的斂散性。一般來說,我們可以選擇比較簡單的級數:U_p =\sum {1 \over n^p}作為「標準級數」,依此判斷其他函數的斂散性。需要知道的是當p \le 1 時,U_p 發散,當p > 1時,U_p 收斂。

達朗貝爾判別法[編輯]

在比較判別法中,如果取幾何級數為比較的標準級數,可得:

\sum u_n 是通項大於零的正項級數。並且\lim_{n \to \infty} {u_{n+1} \over u_n}= p,則
  • p < 1 時,級數 \sum u_n 收斂。
  • p > 1 時,級數 \sum u_n 發散。
  • p = 1 時,級數 \sum u_n 可能收斂也可能發散。

這個判別法也稱為比值判別法比值審斂法

柯西收斂準則[編輯]

\sum u_n 是正項級數。並且\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{u_n} = p,則
  • p < 1 時,級數 \sum u_n 收斂。
  • p > 1 時,級數 \sum u_n 發散。
  • p = 1 時,級數 \sum u_n 可能收斂也可能發散。

這個判別法也稱為根值判別法根值審斂法'

交錯級數[編輯]

具有以下形式的級數

 \sum_{n=0}^\infty (-1)^n a_n\!

其中所有的 an 非負,被稱作交錯級數

萊布尼茨判別法[編輯]

在上述的級數 \sum_{n=0}^\infty (-1)^n a_n\!中,如果當 n 趨於無窮時, 數列 an 的極限存在且等於 0,並且每個 an 小於 an-1 (即, 數列 an單調遞減的),那麼級數收斂。

任意項級數[編輯]

對於通項為任意實數的無窮級數 \sum u_n,將級數 \sum |u_n| 稱為它的絕對值級數。可以證明,如果\sum |u_n|收斂,那麼 \sum u_n 也收斂,這時稱 \sum u_n 絕對收斂。如果 \sum u_n 收斂,但是 \sum |u_n| 發散,則稱 \sum u_n 條件收斂。比如說,級數 \sum {\sin n \over n^2} 絕對收斂,因為前面已經證明 \sum {| \sin n | \over n^2} 收斂。而級數 \sum {(-1)^n \over n} 是條件收斂的。它自身收斂到 \ln {1 \over 2} ,但是它的絕對值級數 \sum {1 \over n} 是發散的。

黎曼級數定理說明,如果一個無窮級數 \sum u_n 條件收斂,那麼對於任意的實數 x ,存在一個正整數到正整數的雙射 \sigma ,使得級數 \sum u_{\sigma(n)} 收斂到 x 。對於正負無窮大,上述雙射也存在。

函數項級數[編輯]

(u_n (x))_{n \ge 0} 為定義在區間 I 上的函數列,則表達式:u_1 (x) + u_2 (x) + \cdots + u_n (x) + \cdots稱為函數項級數,簡記為\sum u_n (x)。對函數項級數的主要研究是:

  1. 確定對哪些 x ,\sum u_n (x)收斂。
  2. \sum u_n (x)收斂的話,其和是什麼,有什麼性質?

收斂域[編輯]

對區間 I 上的每個 x_0,級數 \sum u_n (x_0)是常數項級數。若 \sum u_n (x_0)收斂,則稱 x_0\sum u_n (x)的一個收斂點\sum u_n (x) 全體收斂點的集合稱為它的收斂域。若 \sum u_n (x_0)發散,則稱 x_0\sum u_n (x)的一個發散點\sum u_n (x) 全體發散點的集合稱為它的發散域\sum u_n (x)在其收斂域的每一點上都有定義,因此定義了一個函數,稱為\sum u_n (x)和函數,記為S(x)。按照定義,S(x_0) = \lim_{n \to \infty} S_n(x_0),其中S_n(x_0) = u_1 (x_0) + u_2 (x_0) + \cdots + u_n (x_0) 為函數項級數在x_0 點上的部分和。

一致收斂[編輯]

函數項級數的取值可以在它的收斂域上用和函數定義,但和函數的性質可能會和級數的每一項不同。比如說,當函數項級數\sum u_n (x) 中的每一項u_n (x) 在收斂域上都是連續函數時,和函數未必會是連續函數。以下是一個例子:

\displaystyle u_n (x) = x^n - x^{n+1},也就是說\displaystyle u_0 (x) = 1 - x\displaystyle u_1 (x) = x - x^2等等,它們顯然都是連續函數(甚至是光滑函數)。這時函數項級數在x 點上的部分和S_n(x) = \sum_{k=0}^n (x^k - x^{k+1}) =1 - x^{n+1} 。在區間[0, 1]的每一點上,部分和都有極限:
 x \neq 1時,S_n(x) \rightarrow 1
\displaystyle x = 1時,S_n(x) \rightarrow 0
於是在區間[0, 1]上,級數\sum u_n (x) 收斂,其和函數S(x)為:
 0 \le x < 1時,S(x) = 1S(1) = 0
這不是一個連續函數。

然而,如果函數項級數能夠滿足某些更嚴格的條件的話,可以證明級數的和函數的規則性將會等於每一項函數的規則性,這就是所謂的一致收斂性質。和函數列的一致收斂性質一樣,函數項級數\sum u_n (x)在某個區間\mathcal{I} 內(關於某個範數\left \| \cdot \right \|)一致收斂的定義是它的部分和函數S_n 在區間\mathcal{I}上一致收斂到和函數S

\lim_{n \rightarrow \infty } \left \| S - S_n \right \|_{\mathcal{I}} = 0
或者寫成\lim_{n \rightarrow \infty }  \left \| \sum_{k=n}^{\infty} u_k \right \|_{\mathcal{I}} = 0

可以證明:

如果級數\sum u_n (x) 在區間\mathcal{I} 內一致收斂,並且每個u_n (x) 都是連續函數,那麼和函數S 在區間\mathcal{I} 上也是連續函數。

進一步的,如果導函數級數的每一項都是\mathcal{C}^p 函數(p階連續可微函數),並且各階導函數級數\sum u_n (x), \sum u_n^{(1)} (x), \sum u_n^{(2)} (x), \cdots, \sum u_n^{(p)} (x)在區間\mathcal{I} 內都一致收斂,那麼級數和函數S(x) = \sum u_n (x) 也是\mathcal{C}^p 函數,並且:

\forall 0 \le i \le pS^{(i)}(x) = \sum u_n^{(i)} (x)

絕對收斂[編輯]

函數項級數也有絕對收斂的概念。對於某個給定的區間\mathcal{I} 和範數\left \| \cdot \right \|_{\mathcal{I}},函數項級數\sum u_n (x) 在區間\mathcal{I} 內絕對收斂,若且唯若常數級數\sum \left \| u_n \right \|_{\mathcal{I}} 收斂。

絕對收斂的(連續?)函數在每一點都收斂,並且在區間\mathcal{I} 內一致收斂。[來源請求]

冪級數[編輯]

形同\sum a_n (x- x_0)^n的函數項無窮級數稱為x- x_0冪級數。一般只需討論形同\sum a_n x^n的冪級數。

冪函數的收斂域[編輯]

根據阿貝爾定理,它的收斂域是一個關於零對稱的區間,即為( -R,R )(可開可閉)的形式。這個正數 R (可以是無窮大)叫做冪級數的收斂半徑。並有定理:

設冪級數\sum a_n x^n滿足\lim_{n \to \infty} {a_{n+1} \over a_n} = \rho,則:

  •  \rho是正實數時,R = {1 \over \rho}
  •  \rho = 0時,R = \infty
  •  \rho = \infty時,R = 0

冪級數的和函數[編輯]

求解冪級數的和函數有時需要利用先對各項積分(或求導)以得到一個方便利用已有公式進行求和的形式,在求和後在對各項求導(或積分)。

漸進級數[編輯]

漸進級數是用來對某些函數的間斷點附近的情況進行逼近的級數。漸進級數一般是發散的,它的部分和趨於無窮大,因此可以很好地逼近一個趨於無窮大的函數。但要注意的是,漸進級數提供的逼近是相對的,即只是比值趨於一致,與函數值之間的誤差並不像收斂的級數一樣趨於無窮小。一般來說,漸進級數在若干項後便達到最小的絕對誤差,之後的絕對誤差一般會增大甚至趨於無窮。

發散級數的和[編輯]

發散級數的部分和沒有極限,但是在應用中可以使用比較弱的級數和定義,比如切薩羅求和阿貝爾求和以及歐拉求和

推廣[編輯]

級數的概念可以在任何的對稱拓撲群中定義,常用的是在一個巴拿赫空間(比如實數或複數空間)中。

注釋[編輯]

參考文獻[編輯]

參考書目[編輯]

  • 同濟大學數學系. 《高等數學》(第六版). 高等教育出版社. ISBN 978-7-04-021277-8. 
  • 北京大學數學科學學院. 《數學分析》(第二冊). 北京大學出版社. 

參見[編輯]