整數,在電腦應用上也稱為整型,是序列
中所有的數的統稱,包括負整數、零(0)與正整數。和自然數一樣,整數也是一個可數的無限集合。這個集合在數學上通常表示粗體
或
,源於德語單詞Zahlen(意為「數」)的首字母。
在代數數論中,這些屬於有理數的一般整數會被稱為有理整數,用以和高斯整數等的概念加以區分。
整數是一個集合,通常可以分為正整數、零(0)和負整數。正整數(符號:Z+或
)即大於0的整數,是正數與整數的交集。而負整數(符號:
或
)即小於0的整數,是負數與整數的交集。和整數一樣,兩者都是可數的無限集合。除正整數和負整數外,通常將0與正整數統稱為非負整數(符號:Z+0或
),而將0與負整數統稱為非正整數(符號:Z-0或
)。在數論中自然數
通常被視為與正整數等同,即1,2,3等,但在集合論和計算機科學中自然數則通常是指非負整數,即0,1,2等。
下表給出任何整數
的加法和乘法的基本性質。
性質 |
加法 |
乘法
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封閉性
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是整數 |
是整數
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結合律
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![{\displaystyle a+(b+c)=(a+b)+c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44038eb287a7d11c82ecf1642362bff63a012b2f) |
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交換律
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![{\displaystyle a+b=b+a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/684f43b5094501674e8314be5e24a80ee64682e3) |
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存在單位元
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![{\displaystyle a+0=a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4564e28f0f8274644ca4e58664c0593ed48de541) |
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存在反元素
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![{\displaystyle a+(-a)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bee04ca35f37fa95ee387e42959af9038fb8251) |
在整數集中,只有1或-1對於乘法存在整數反元素,其餘整數 關於乘法的反元素為 ,都不為整數。
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分配律
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全體整數關於加法和乘法形成一個環。環論中的整環、無零因子環和唯一分解域可以看作是整數的抽象化模型。
是一個加法循環群,因為任何整數都是若干個1或-1的和。1和-1是
僅有的兩個生成元。每個元素個數為無窮個的循環群都與
同構。
是一個全序集,沒有上界和下界,其序列如下:
![{\displaystyle \ldots <-2<-1<0<1<2<\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8482a11eaa12b3cc3d4aa07890acb595563dd8d1)
一個整數大於零則為正,小於零則為負。零既非正也非負。
整數的序列在代數運算下是可以比較的,表示如下:
- 若
且
,則
(加法)
- 若
且
,則
;若
,則
(乘法)
整數環是一個歐幾里德域。
的基數
[編輯]
的基數(或勢)是ℵ0,與
相同。這可以從
建立一對射函數到
來證明,亦即該函數要同時滿足單射及滿射的條件,例如:
![{\displaystyle f(x)={\begin{cases}2x+1,&{\mbox{if }}x\geq 0\\2|x|,&{\mbox{if }}x<0\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6025ceab390ffb7b3f31f16aa3632411e019b59)
當該函數的定義域僅限於
,則證明
與
可建立一一對應的關係,即兩集等勢。
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| 可數集 |
- 自然數 (
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- 整數 (
)
- 有理數 (
)
- 規矩數
- 代數數 (
)
- 週期
- 可計算數
- 可定義數
- 高斯整數 (
)
- 艾森斯坦整數
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| 合成代數 |
- 可除代數:實數 (
)
- 複數 (
)
- 四元數 (
)
- 八元數 (
)
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| 凱萊-迪克森結構 |
- 實數 (
)
- 複數 (
)
- 四元數 (
)
- 八元數 (
)
- 十六元數 (
)
- 三十二元數
- 六十四元數
- 一百二十八元數
- 二百五十六元數……
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| 分裂 形式 | |
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| 其他超複數 | |
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| 其他系統 | |
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