橢圓

維基百科,自由的百科全書
前往: 導覽搜尋
橢圓和它的某些數學性質。

數學中,橢圓是平面上到兩個固定點的距離之和為常數的點之軌跡

根據該定義,可以用手繪橢圓:先準備一條線,將這條線的兩端各綁在固定的點上(這兩個點就當作是橢圓的兩個焦點);取一支筆,用筆尖將線繃緊,這時候兩個點和筆就形成了一個三角形(的兩邊);然後左右移動筆尖拉著線開始作圖,持續地使線繃緊,最後就可以完成一個橢圓的圖形了。

  • 由於兩個固定點之間的距離也是一定的,所以可以省去綁在點上這一步驟而改將線綁成環狀,然後以筆尖和這兩個焦點將線繃直即可。下同。

概述[編輯]

一個平面切截一個圓錐面得到的橢圓。

橢圓是一種圓錐曲線:如果一個平面切截一個圓錐面,且不與它的底面相交,也不與它的底面平行,則圓錐和平面交截線是個橢圓。

在代數上說,橢圓是在笛卡爾平面上如下形式的方程所定義的曲線

使得 ,這裡的係數都是實數,並存在定義在橢圓上的點對 (x, y) 的多於一個的解。

穿過兩焦點並終止於橢圓上的線段 AB 叫做長軸。長軸是通過連接橢圓上的兩個點所能獲得的最長線段。穿過中心(兩焦點的連線的中點)垂直於長軸並且終止於橢圓的線段 CD 叫做短軸半長軸(圖中指示為 a)是長軸的一半:從中心通過一個焦點到橢圓的邊緣的線段。類似的,半短軸(圖中指示為 b)是短軸的一半。

如果兩個焦點重合,則這個橢圓是;換句話說,圓是離心率為零的橢圓。

中心位於原點的橢圓 可以被看作單位圓在關聯於對稱矩陣 線性映射下的圖像,這裡的 D 是帶有 特徵值對角矩陣,二者沿著主對角線都是正實數的,而 P 是擁有 特徵向量作為縱列的實數的酉矩陣。橢圓的長短軸分別沿著 的兩個特徵向量的方向,而兩個與之對應的特徵值分別是半長軸半短軸的長度的平方的倒數。

橢圓可以通過對一個圓的所有點的 x 坐標乘以一個常數而不改變 y 坐標來生成。

離心率[編輯]

橢圓的形狀可以用叫做橢圓的離心率的一個數來表達,習慣上指示為 。離心率是小於 1 大於等於 0 的正數。離心率 0 表示著兩個焦點重合而這個橢圓是

對於有半長軸 a 和半短軸 b 的橢圓,離心率是

離心率越大,ab比率就越大,因此橢圓被更加拉長。

半焦距c 等於從中心到任一焦點的距離,則

距離 c 叫做橢圓的線性離心率。在兩個焦點間的距離是 2aε。

方程[編輯]

在正規位置上的橢圓的參數方程。參數 t 是藍線對於 X-軸的角度。

中心位於點 的主軸平行於 x 軸的橢圓由如下方程指定

這個橢圓可以參數化表達為

這裡的 可以限制於區間

如果 (就是說,如果中心是原點(0,0)),則

這個參數方程揭示了兩個方向相互垂直的簡諧運動(表現為具有周期性的簡諧波)合成了閉合的橢圓形周期性運動(表現為軌跡是橢圓)。

橢圓方程
圖像
範圍

相對於中心的極坐標形式[編輯]

用極坐標可表達為

這裡的 是橢圓的離心率。

相對於焦點的極坐標形式[編輯]

橢圓的極坐標,原點在 F1

有一個焦點在原點的橢圓的極坐標方程是

半正焦弦和極坐標[編輯]

橢圓的半正焦弦,通常指示為 ),是從橢圓的一個焦點到橢圓自身,沿著垂直主軸的直線測量的距離。它有關於 (橢圓的半軸),通過公式 或者如果使用離心率的話

橢圓,使用半正焦弦展示

極坐標中,一個焦點在原點而另一個焦點在負 x 軸上的橢圓給出自方程

橢圓可以被看作是圓的投影:在與水平面有角度 φ 的平面上的圓垂直投影到水平面上給出離心率 sin φ 的橢圓,假定 φ 不是 90°。

橢圓(用紅色繪制)可以表達為內旋輪線在 R=2r 時的特殊情況。

面積和周長[編輯]

橢圓所包圍的面積是 ,這裡的 ,和, 是半長軸和半短軸。在圓的情況下,表達式簡化為 。 橢圓的周長是 ,這裡的函數是第二類完全橢圓積分

周長為:或者

精確的無窮級數為:

或:

拉馬努金給出一個更為接近的式子:

它還可以寫為:

還有一條近似很高的公式:

標準方程的推導[編輯]

  • 如果在一個平面內一個動點到兩個定點距離等於定長,那麼這個動點的軌跡叫做橢圓。

假設(注意所有假設只是為了導出橢圓方程時比較簡便)動點為,兩個定點為,則根據定義,動點的軌跡方程滿足(定義式):

,其中為定長。

用兩點的距離公式可得:,代入定義式中,得:

整理上式,並化簡,得:

時,並設,則①式可以進一步化簡:

因為,將②式兩邊同除以,可得:

則該方程即動點的軌跡方程,即橢圓的方程。這個形式也是橢圓的標準方程

  • 橢圓的圖像如果在直角坐標系中表示,那麼上述定義中兩個定點被定義在了x軸。若將兩個定點改在y軸,可以用相同方法求出另一個橢圓的標準方程
  • 在方程中,所設的稱為長軸長,稱為短軸長,而所設的定點稱為焦點,那麼稱為焦距。在假設的過程中,假設了,如果不這樣假設,會發現得不到橢圓。當時,這個動點的軌跡是一個線段;當時,根本得不到實際存在的軌跡,而這時,其軌跡稱為虛橢圓。另外還要注意,在假設中,還有一處:
  • 通常認為是橢圓的一種特殊情況。

橢圓的旋轉和平移[編輯]

對於平面上任意橢圓 ,我們總可以將之轉化為

的形式。具體步驟為,將後式的各乘積乘方項展開,根據與前式對應項係數相等的法則便可求得u,v,f的值。其中,便是該橢圓的中心(f=0)。

若將

帶入式中便可得到平移前的橢圓。

,則表示橢圓的長短軸與坐標系的坐標軸並不平行或垂直,即發生了旋轉。設旋轉的角度為,則有

,則說明

若將

帶入式中便可得到旋轉前的橢圓。

漸開線及其導數[編輯]


有了橢圓漸開線的導數我們可以計算它的長度,其中是第二類完全橢圓積分

參見[編輯]

外部連結[編輯]