# 橢圓

• 由於兩個固定點之間的距離也是一定的，所以可以省去綁在點上這一步驟而改將線綁成環狀，然後以筆尖和這兩個焦點將線繃直即可。下同。

## 概述

${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0\,}$

## 離心率

${\displaystyle \varepsilon ={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}}$

${\displaystyle \varepsilon ={\frac {c}{a}}}$

## 方程

${\displaystyle {\frac {(x-h)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {(y-k)^{2}}{b^{2}}}=1}$

${\displaystyle x=h+a\,\cos t,\,\!}$
${\displaystyle y=k+b\,\sin t\,\!}$

${\displaystyle x=a\,\cos t,\,\!}$
${\displaystyle y=b\,\sin t\,\!}$

 橢圓方程 ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1(a>b>0)}$ ${\displaystyle {\frac {y^{2}}{a^{2}}}+{\frac {x^{2}}{b^{2}}}=1(a>b>0)}$ 圖像 範圍 ${\displaystyle -a\leq x\leq a,-b\leq y\leq b}$ ${\displaystyle -a\leq y\leq a,-b\leq x\leq b}$

### 相對於中心的極坐標形式

${\displaystyle r={\frac {ab}{\sqrt {a^{2}\sin ^{2}\theta +b^{2}\cos ^{2}\theta }}}={\frac {b}{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}\cos ^{2}\theta }}}}$

### 相對於焦點的極坐標形式

${\displaystyle r={\frac {a\cdot (1-\varepsilon ^{2})}{1-\varepsilon \cdot \cos \theta }}}$

#### 半正焦弦和極坐標

${\displaystyle r\cdot (1+\varepsilon \cdot \cos \theta )=l\,\!}$

## 面積和周長

${\displaystyle C=2\pi a\left[{1-\left({1 \over 2}\right)^{2}{\frac {c^{2}}{a^{2}}}-\left({1\cdot 3 \over 2\cdot 4}\right)^{2}{c^{4} \over {3a^{4}}}-\left({1\cdot 3\cdot 5 \over 2\cdot 4\cdot 6}\right)^{2}{c^{6} \over {5a^{6}}}-\dots }\right]\!\,}$

${\displaystyle C=-2\pi a\sum _{n=0}^{\infty }{\left\lbrace \left[\prod _{m=1}^{n}\left({2m-1 \over 2m}\right)\right]^{2}{c^{2n} \over {{a^{2n}}\left(2n-1\right)}}\right\rbrace }}$

${\displaystyle C\approx \pi \left[3(a+b)-{\sqrt {(3a+b)(a+3b)}}\right]\!\,}$

${\displaystyle C\approx 3a\pi \left[1+{\sqrt {1-\left({\frac {c}{a}}\right)^{2}}}\right]-a\pi {\sqrt {\left[3+{\sqrt {1-\left({\frac {c}{a}}\right)^{2}}}\right]\left[1+3{\sqrt {1-\left({\frac {c}{a}}\right)^{2}}}\right]}}\!\,}$

${\displaystyle C\approx \pi (a+b)\left[1+{\frac {3\left({\frac {a-b}{a+b}}\right)^{2}}{10+{\sqrt {4-3\left({\frac {a-b}{a+b}}\right)^{2}}}}}\right]\left[1+\left({\frac {22}{7\pi }}-1\right)\left({\frac {a-b}{a}}\right)^{33}{\sqrt[{1000}]{\left({\frac {a-b}{a}}\right)^{697}}}\right]\!\,}$

## 標準方程的推導

• 如果在一個平面內一個動點到兩個定點距離等於定長，那麼這個動點的軌跡叫做橢圓。

${\displaystyle |PF_{1}|+|PF_{2}|=2a(a>0)\,}$，其中${\displaystyle 2a\,}$為定長。

${\displaystyle {\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}=2a-{\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}\,}$

${\displaystyle (a^{2}-c^{2})x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}(a^{2}-c^{2})\,}$

${\displaystyle a>c\,}$時，並設${\displaystyle a^{2}-c^{2}=b^{2}\,}$，則①式可以進一步化簡：

${\displaystyle b^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2}\,}$

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1\,}$

• 橢圓的圖像如果在直角坐標系中表示，那麼上述定義中兩個定點被定義在了x軸。若將兩個定點改在y軸，可以用相同方法求出另一個橢圓的標準方程
${\displaystyle {\frac {y^{2}}{a^{2}}}+{\frac {x^{2}}{b^{2}}}=1(a>b>0)\,}$
• 在方程中，所設的${\displaystyle 2a\,}$稱為長軸長，${\displaystyle 2b\,}$稱為短軸長，而所設的定點稱為焦點，那麼${\displaystyle 2c\,}$稱為焦距。在假設的過程中，假設了${\displaystyle a>c\,}$，如果不這樣假設，會發現得不到橢圓。當${\displaystyle a=c\,}$時，這個動點的軌跡是一個線段；當${\displaystyle a時，根本得不到實際存在的軌跡，而這時，其軌跡稱為虛橢圓。另外還要注意，在假設中，還有一處：${\displaystyle a^{2}-c^{2}=b^{2}\,}$
• 通常認為是橢圓的一種特殊情況。

## 橢圓的旋轉和平移

${\displaystyle A(x-u)^{2}+2B(x-u)(y-v)+C(y-v)^{2}+f=0\,}$

${\displaystyle x=x^{\prime }-u}$
${\displaystyle y=y^{\prime }-v}$

${\displaystyle B\neq 0}$，則表示橢圓的長短軸與坐標系的坐標軸並不平行或垂直，即發生了旋轉。設旋轉的角度為${\displaystyle \displaystyle \varphi }$，則有

${\displaystyle \displaystyle tan(2\varphi )={\frac {2B}{A-C}}}$${\displaystyle A-C=0}$，則說明${\displaystyle \varphi =\pm {\frac {\pi }{4}}}$

${\displaystyle x=x^{\prime }\cos \varphi -y^{\prime }\sin \varphi }$
${\displaystyle y=y^{\prime }\cos \varphi +x^{\prime }\sin \varphi }$

## 漸開線及其導數

${\displaystyle {\begin{cases}x=a\cos t+{\cfrac {abE\left(t,{\cfrac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{a}}\right)\sin t}{\sqrt {a^{2}\sin ^{2}t+b^{2}\cos ^{2}t}}}\!\,\\\\y=b\sin t+{\cfrac {b^{2}E\left(t,{\cfrac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{a}}\right)\cos t}{\sqrt {a^{2}\sin ^{2}t+b^{2}\cos ^{2}t}}}\!\,\\\end{cases}}}$

${\displaystyle {\begin{cases}{\cfrac {{\rm {d}}x}{\rm {{d}t}}}={\cfrac {\left[b^{2}\sin 2t-2b^{2}\sin t\cdot E\left(t,{\cfrac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{a}}\right)\right]\left(a^{2}\sin ^{2}t+b^{2}\cos ^{2}t\right)-ab\left(a^{2}-b^{2}\right)\sin 2t\cdot E\left(t,{\cfrac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{a}}\right)\sin t}{2\left(a^{2}\sin ^{2}t+b^{2}\cos ^{2}t\right){\sqrt {a^{2}\sin ^{2}t+b^{2}\cos ^{2}t}}}}-a\sin t\!\,\\\\{\cfrac {{\rm {d}}y}{\rm {{d}t}}}={\cfrac {\left[b^{3}\sin 2t-2ab^{2}\sin t\cdot E\left(t,{\cfrac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{a}}\right)\right]\left(a^{2}\sin ^{2}t+b^{2}\cos ^{2}t\right)-ab^{2}\left(a^{2}-b^{2}\right)\sin 2t\cdot E\left(t,{\cfrac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{a}}\right)\sin t}{2a\left(a^{2}\sin ^{2}t+b^{2}\cos ^{2}t\right){\sqrt {a^{2}\sin ^{2}t+b^{2}\cos ^{2}t}}}}+b\cos t\!\,\\\end{cases}}}$