此條目
序言章節 沒有充分總結 全文內容要點。
(2015年3月28日 ) 請考慮擴充序言,清晰概述 條目所有重點。請在條目的討論頁 討論此問題。
李群 (英語:Lie group , )是一個數學概念,指具有群結構的光滑微分流形 ,其群作用 與微分結構 相容。李群的名字源於挪威數學家索菲斯·李 的姓氏,以其為連續變換群 奠定基礎。1893年,法文名詞groupes de Lie 首次出現在李的學生亞瑟·特雷斯(Arthur Tresse)的論文第三頁中。[ 1]
粗略地說,李群是連續的群,也即其元素可由幾個實參數描述。因此,李群為連續對稱性的概念提供了一個自然的模型,例如三維旋轉對稱性。李群被廣泛應用於現代數學和物理學。索菲斯·李 引入李群的最初動機是為微分方程 的連續對稱性建模,就像有限群被用於伽羅瓦理論 對代數方程 的離散對稱性建模一樣。
絕對值 為1的複數 集(對應於複數平面 上圓心在原點、半徑為1的單位圓 )是一個在複數乘法下的李群,稱為圓群 。
李群是光滑 可微流形 ,因而可以用微分學 來研究,這點與更一般的拓撲群 不同。李群理論中的關鍵是替換掉「全局」的物件,也即群本身,而代之以其「局部」或線性化的版本。這個局部版本被索菲斯·李 本人稱為該李群的「無窮小群」,而後來以「李代數」為人熟知。
李群在現代幾何學 中在多個層面扮演了重要的角色。費利克斯·克萊因 在他的愛爾蘭根綱領 中認為,可以通過選定適當的保持某種幾何性質不變 的轉換群來考察各種「幾何」。例如,歐氏幾何 對應於歐式空間R 3 中保距轉換構成的歐幾里得群 E(3);共形幾何 對應於把群擴大到共形群 ;而在射影幾何 中引起人們興趣的是射影群 的不變屬性。這個觀念後來發展為G-結構 的概念,其中G 是流形"局部"對稱性形成的李群。
李群(以及與之關聯的李代數)在現代物理學中起到了重要作用,並通常扮演了物理系統中的對稱性。這裏,李群表示 或相應的李代數表示 尤為重要。 表示理論在粒子物理中被頻繁使用 。一些具有較為重要的表示的群包括旋轉群SO(3) (或其雙覆蓋 特殊么正群SU(2) ),特殊么正群SU(3) 以及龐加萊群 。
G
{\displaystyle G}
為有限維實解析流形
兩個解析映射,二元運算
G
×
G
→
G
{\displaystyle G\times {}G\rightarrow {}G}
,和逆映射
G
→
G
{\displaystyle G\rightarrow {}G}
滿足群公理,從而具有群結構。
實李群 是一個滿足下列條件的群 :它也是一個有限維實光滑流形 ,其中群的乘法 和求逆操作是光滑映射 。 群乘法的光滑性
μ
:
G
×
G
→
G
μ
(
x
,
y
)
=
x
y
{\displaystyle \mu :G\times G\to G\quad \mu (x,y)=xy}
意味着
μ
{\displaystyle \mu }
是一個從積流形
G
×
G
{\displaystyle G\times G}
到
G
{\displaystyle G}
的光滑映射。這兩個條件可以合併成一條,即映射
(
x
,
y
)
↦
x
−
1
y
{\displaystyle (x,y)\mapsto x^{-1}y}
是一個從積流形
G
×
G
{\displaystyle G\times G}
到
G
{\displaystyle G}
的光滑映射。
GL
(
2
,
R
)
=
{
A
=
(
a
b
c
d
)
:
det
A
=
a
d
−
b
c
≠
0
}
.
{\displaystyle \operatorname {GL} (2,\mathbb {R} )=\left\{A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}:\det A=ad-bc\neq 0\right\}.}
這是一個非緊緻的 四維實李群;它是
R
4
{\displaystyle \mathbb {\mathbb {R} } ^{4}}
的一個開子集。這個群是非連通的 ;它有兩個連通分量,對應於行列式 的正負兩種情況。
旋轉 矩陣構成了
G
L
(
2
,
R
)
{\displaystyle GL(2,\mathbf {R} )}
的一個子群 ,記為
S
O
(
2
,
R
)
{\displaystyle SO(2,\mathbf {R} )}
。它自己本身也是一個李群:具體地說,它是一個與圓 微分同胚 的一維緊緻 連通 李群。使用旋轉角
φ
{\displaystyle \varphi }
作為參數,這個群可以被參數化 為如下形式:
SO
(
2
,
R
)
=
{
(
cos
φ
−
sin
φ
sin
φ
cos
φ
)
:
φ
∈
R
/
2
π
Z
}
.
{\displaystyle \operatorname {SO} (2,\mathbf {R} )=\left\{{\begin{pmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \varphi &\cos \varphi \end{pmatrix}}:\varphi \in \mathbf {R} /2\pi \mathbf {Z} \right\}.}
其中,角度的加法對應於
S
O
(
2
,
R
)
{\displaystyle SO(2,\mathbf {R} )}
中元素的乘法,角度的相反數對應於反元素。因此,乘法和求逆操作也都是可微映射。
一維仿射群 是一類二維上三角陣 組成的李群,其中第一個對角線上的元素為正,第二個對角線上的元素為1。因此,該群包含了如下形式的矩陣:
A
=
(
a
b
0
1
)
,
a
>
0
,
b
∈
R
.
{\displaystyle A=\left({\begin{array}{cc}a&b\\0&1\end{array}}\right),\quad a>0,\,b\in \mathbb {R} .}
現在我們給出一個群的例子,它擁有不可數的元素,並且在某種拓撲下不是李群。我們給定如下群:
H
=
{
(
e
2
π
i
θ
0
0
e
2
π
i
a
θ
)
|
θ
∈
R
}
⊂
T
2
=
{
(
e
2
π
i
θ
0
0
e
2
π
i
ϕ
)
|
θ
,
ϕ
∈
R
}
,
{\displaystyle H=\left\{\left.\left({\begin{matrix}e^{2\pi i\theta }&0\\0&e^{2\pi ia\theta }\end{matrix}}\right)\right|\theta \in \mathbb {R} \right\}\subset \mathbb {T} ^{2}=\left\{\left.\left({\begin{matrix}e^{2\pi i\theta }&0\\0&e^{2\pi i\phi }\end{matrix}}\right)\right|\theta ,\phi \in \mathbb {R} \right\},}
其中
a
∈
P
=
R
∖
Q
{\displaystyle a\in \mathbb {P} =\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }
是一個固定的 無理數 。這是一個環面
T
2
{\displaystyle \mathbb {T} ^{2}}
的子群,它在子空間拓撲 下不是李群。[ 2] 比如說,如果我們取
H
{\displaystyle H}
中的一個點
h
{\displaystyle h}
的任意小鄰體
U
{\displaystyle U}
,那麼
H
{\displaystyle H}
在
U
{\displaystyle U}
中的部分是不連通的。群
H
{\displaystyle H}
在環面上反覆纏繞,形成了一個
T
2
{\displaystyle \mathbb {T} ^{2}}
的稠密 子群。
另一方面,我們可以給群
H
{\displaystyle H}
指定另一個拓撲,使得兩點
h
1
,
h
2
∈
H
{\displaystyle h_{1},h_{2}\in H}
之間的距離被定義為群H中 連結
h
1
{\displaystyle h_{1}}
和
h
2
{\displaystyle h_{2}}
的最短路徑長度。在這個拓撲下,
H
{\displaystyle H}
通過其元素中對應的
θ
{\displaystyle \theta }
與實直線同胚。在這種拓撲下,
H
{\displaystyle H}
僅僅是加法意義下的實數群,因此也是李群。
群
H
{\displaystyle H}
是李群的一個非閉"李子群 "的樣例。可參見下面基本概念部分關於李子群的討論。
用GL(n ; C ) 表示複數體上的n × n 可逆矩陣。GL(n , C ) 的任何閉子群 也是一個李群[ 3] ;這類李群被稱為矩陣李群 。
由於李群中大多數有趣的例子都可以用矩陣李群實現,一些教科書把注意力限制在這類李群上,包括Hall[ 4] 以及 Rossmann[ 5] 等,這樣可以簡化李代數和指數映射的定義。下面是一些矩陣李群的標準樣例:
定義在R 和C 上的特殊線性群 SL(n , R ) 和SL(n , C ) ,分別包括了元素屬於R 或C 的、行列式為1的n × n 矩陣。
么正群 U(n )(以及特殊么正群 SU(n )), 包含了滿足
U
∗
=
U
−
1
{\displaystyle U^{*}=U^{-1}}
(對於特殊么正群 而言,還需滿足
d
e
t
(
U
)
=
1
{\displaystyle \mathrm {det} (U)=1}
)的n × n 複矩陣。
正交群 O(n )(以及特殊正交群 SO(n )),包含了滿足
R
T
=
R
−
1
{\displaystyle R^{\mathrm {T} }=R^{-1}}
(對於特殊正交群 而言,還需滿足
d
e
t
(
R
)
=
1
{\displaystyle \mathrm {det} (R)=1}
)的n × n 實矩陣。
以上列舉的群均為經典群 。
與實李群相對應,復李群 是在複流形 上定義的(例如SL(2, C ) )。類似地,使用一種Q 的度量完備化 我們可以在 p -進數 上定義p -進數李群 ,一種滿足每個點都有一個p -進數鄰體的拓撲群。
李群經常出現在數學和物理學中。矩陣群 或代數群 (大部分情況下)是由矩陣構成的群(例如正交群 和辛群 ),而這些也是李群最常見的例子。
一維情況下唯二的連通李群是實直線
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
(其群操作為加法)和由絕對值為1的複數組成的圓群
S
1
{\displaystyle S^{1}}
(其群操作為乘法)。
S
1
{\displaystyle S^{1}}
也常被記作
U
(
1
)
{\displaystyle U(1)}
,即
1
×
1
{\displaystyle 1\times 1}
么正群 。
在二維情況下,如果我們只考慮簡單連通群,那麼可以通過它們的李代數來分類。若把同構的情況歸為一類,那麼此時只存在兩種李代數。與這兩種李代數關聯的簡單連通李群分別是
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
(其群操作為向量加法)以及一維仿射群 (在前面的小節"初步的樣例"中有介紹)。
部份書籍在定義李群時假設了解析性,本條目採相同定義。另一種進路則是定義李群為實光滑(簡記為
C
∞
{\displaystyle C^{\infty }}
)流形,並具有光滑的群二元運算與反元素運算。解析條件看似較強,實則兩者等價:
定理.任意
C
∞
{\displaystyle C^{\infty }}
李群上具有唯一的實解析流形結構,使得群二元運算及反元素運算皆為解析映射。此時指數映射 亦為解析映射。
G
,
H
{\displaystyle G,H}
均為李群,二者之間的一個同態:
f
:
G
→
H
{\displaystyle f\,:G\rightarrow H}
為群同態 並且是解析映射 (事實上,可以證明這裏解析的條件只需滿足連續即可)。顯然,兩個同態的複合是同態。所有李群的類 加上同態構成一個範疇 。
兩個李群之間存在一個對射 ,這個對射及其逆射均為同態 ,就稱之為同構 。
李代數 刻劃了李群在單位元附近的局部性狀;藉助指數映射或源自李代數的葉狀結構 ,可以將李代數的性質提昇到李群的層次。
設
G
{\displaystyle G}
為李群,其李代數
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
定義為
G
{\displaystyle G}
在單位元的切空間 。
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
自然具備了向量空間 結構,
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
上的李括積
[
,
]
:
g
×
g
→
g
{\displaystyle [,]:{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}
定義如下:
定義
G
{\displaystyle G}
對自身的伴隨作用為
A
d
(
x
)
(
y
)
:=
x
y
x
−
1
{\displaystyle \mathrm {Ad} (x)(y):=xyx^{-1}}
,
x
,
y
∈
G
{\displaystyle x,y\in G}
。
取Ad對變元
y
∈
G
{\displaystyle y\in G}
在單位元上的微分,得到李代數上的伴隨作用,通常記為
A
d
(
x
)
(
Y
)
=
x
Y
x
−
1
{\displaystyle \mathrm {Ad} (x)(Y)=xYx^{-1}}
,
x
∈
G
,
Y
∈
g
{\displaystyle x\in G,Y\in {\mathfrak {g}}}
。
再對變元
x
∈
G
{\displaystyle x\in G}
微分,得到映射
a
d
:
g
×
g
→
g
{\displaystyle \mathrm {ad} :{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}
。定義李括積為
[
X
,
Y
]
:=
a
d
(
X
)
(
Y
)
{\displaystyle [X,Y]:=\mathrm {ad} (X)(Y)}
。
不難驗證
[
,
]
{\displaystyle [,]}
滿足李代數的抽象定義。李括積蘊含了群乘法的無窮小性質,例如:連通李群
G
{\displaystyle G}
是交換群當且僅當
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
是交換李代數。
李括積也可以用左不變向量場及泊松括號 定義,或者取定局部坐標,用群乘法映射在原點的泰勒級數 定義。
若
G
{\displaystyle G}
是李群,
H
⊂
G
{\displaystyle H\subset G}
是其子群,並帶有李群結構,使得包含映射
H
→
G
{\displaystyle H\to G}
為浸入(不一定是閉的),則可得到子李代數
h
⊂
g
{\displaystyle {\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}}
。反之,任意子李代數
h
{\displaystyle {\mathfrak {h}}}
透過左平移定義了
G
{\displaystyle G}
上的葉狀結構,取含單位元的極大積分流形,便得到滿足前述條件的子群
H
⊂
G
{\displaystyle H\subset G}
。此子群未必是閉子群,它可能是
G
{\displaystyle G}
的稠密子集(考慮環面的例子)。
李代數的映射
g
1
→
g
2
{\displaystyle {\mathfrak {g}}_{1}\to {\mathfrak {g}}_{2}}
未必能提昇至李群的映射
G
1
→
G
2
{\displaystyle G_{1}\to G_{2}}
,但可提昇至映射
G
~
1
→
G
2
{\displaystyle {\tilde {G}}_{1}\to G_{2}}
,其中
G
~
1
{\displaystyle {\tilde {G}}_{1}}
是
G
1
{\displaystyle G_{1}}
的萬有覆疊空間 。
對於任意向量
X
→
g
{\displaystyle X\to {\mathfrak {g}}}
,根據常微分方程式的基本理論,存在
G
{\displaystyle G}
中的單參數子群
c
X
(
t
)
,
c
X
(
0
)
=
e
{\displaystyle c_{X}(t),c_{X}(0)=e}
使得
c
X
′
(
t
)
=
c
X
(
t
)
⋅
X
{\displaystyle c_{X}'(t)=c_{X}(t)\cdot X}
。由此得到的映射
e
x
p
:
g
→
G
{\displaystyle \mathrm {exp} :{\mathfrak {g}}\to G}
X
↦
c
X
(
1
)
{\displaystyle X\mapsto c_{X}(1)}
稱為指數映射。它總是解析映射。
若
G
{\displaystyle G}
為
G
L
(
n
)
{\displaystyle \mathrm {GL} (n)}
的子群,則
e
x
p
(
X
)
=
∑
i
=
0
∞
X
i
i
!
{\displaystyle \mathrm {exp} (X)=\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {X^{i}}{i!}}}
,這是指數映射一詞的緣由。
當
G
{\displaystyle G}
連通且非交換時,指數映射
g
→
G
{\displaystyle {\mathfrak {g}}\to G}
並非同態;局部上,
e
x
p
(
X
)
e
x
p
(
Y
)
{\displaystyle \mathrm {exp} (X)\mathrm {exp} (Y)}
可以由Campbell-Baker-Hausdorff公式表成涉及括積的無窮級數。
在任意體 、環 乃至於概形 上,都可以定義群概形 ;這是概形 範疇中的群對象。群概形具有深刻的幾何與數論 意義,然而李群未必是代數簇 。
另一方面,若體
F
{\displaystyle F}
對某個絕對值 是完備體,其特徵為零,則可照搬解析李群的定義以定義體
F
{\displaystyle F}
上的李群、李代數與指數映射。較常見的例子是
F
=
C
{\displaystyle F=\mathbb {C} }
;至於數論方面,特別涉及自守表示 的研究上,則須用到
F
{\displaystyle F}
為p進數 體的情形。
D. Montgomery and L. Zippin, Topological Transformation Groups (1955), Interscience.
Anthony W. Knapp, Lie Groups Beyond an Introduction (2004), Birkhäuser. ISBN 0817642595 .
Jean-Pierre Serre, Lie algebras and Lie groups (2005), Lecture Notes in Mathematics 1500, Springer-Verlag. ISBN 3540550089 .