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同界角

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45度的3个同界角

几何学中,同界角(英语:Coterminal angles)是指两个有向(有标示起始边与终边的角)有着各自的角度量值(其量值可能相等),且共用同一对起始边与终边,即共享相同始边和终边的角度,但拥有不同的旋转量,就称为同界角[1]。同界角拥有相同的三角函数值,因此三角函数具有周期性。每个角皆有无限多同界角,其量值可以为,但必须是一个实数

性质

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正转逆转都可以得到相同的,但他们拥有不同的旋转量,图中为45度和315度

每个同界角皆差360,换句话说,每360度就会出现一个同界角[2]。每个同界角两边的向量内积外积皆有相同的值。此外,任何角都可以找到最小正同界角最大负同界角

同界角可以如下定义:

  1. 若有两个角有相同的始与终边,则两个角互为同界角
  2. 若两角相差360度的整数倍则两个角互为同界角

同界角存在关系式:

亦可写为:

或:

与三角函数关系

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三角函数周期可以发现,每间隔就会找到相同高度的点,该点即为同界角的三角函数值。
反三角函数图形得知反余弦必得到最小正同界角,而反正弦则有可能得到最小正同界角最大负同界角

三角函数诱导公式可以得知同界角的存在,下表指出,任何三角函数,只要位移为,就会得到相同的函数值,因此互为同界角。

移位 移位
的周期
移位
的周期

另外,从简单的三角方程中,也可以找到同界角,例如:

考虑方程有无限多组解,其中为一个解且为最小正同界角,其余解皆与或是-互为同界角。

但是有例外,如正切余切,由于其周期不为360度,如正切函数的周期为180(即),因此相同的函数值未必互为同界角。

最小正同界角与最大负同界角

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角的量与最小正同界角(黄)与最大负同界角(蓝)的关系

同界角通常有无穷多个,因此在计算一些角度或三角函数抑或是一些周期函数的解时,会取最接近零的同界角。这类同界角又可以再分成最小正同界角与最大负同界角。其中,最小正同界角恒为正,通常解某些具周期性的方程的主值时,是使用最小正同界角。最小正同界角在0到(360度)之间的最小正同界角与原始角相同,当原始角为(360度)或(360度)的倍数时,最小正同界角为零;最大负同界角恒为负,在(负360度)到0之间的最大负同界角与原始角相同。

参见

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参考文献

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  1. ^ Neal, Karla V.; R. David Gustafson, Jeffrey D. Hughes. Coterminal angles. Precalculus, 1st ed.. Cengage Learning. : 第412页. ISBN 1133712673. (原始内容存档于2019-10-18). 
  2. ^ Slavin, Steve; Ginny Crisonino. Circle. Wiley Self-Teaching Guides第 155 卷. John Wiley & Sons. 2004-10-28: 第90页. ISBN 0471680192. (原始内容存档于2019-11-06).