無窮

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各種各樣的
基本

\mathbb{N}\subseteq\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{Q}\subseteq\mathbb{R}\subseteq\mathbb{C}

正數 \begin{smallmatrix} \mathbb{R}^+ \end{smallmatrix}
自然數 \begin{smallmatrix} \mathbb{N} \end{smallmatrix}
正整數 \begin{smallmatrix} \mathbb{Z}^+ \end{smallmatrix}
小數
有限小數
無限小數
循環小數
有理數 \begin{smallmatrix} \mathbb{Q} \end{smallmatrix}
代數數 \begin{smallmatrix} \mathbb{A} \end{smallmatrix}
實數 \begin{smallmatrix} \mathbb{R} \end{smallmatrix}
複數 \begin{smallmatrix} \mathbb{C} \end{smallmatrix}
高斯整數 \begin{smallmatrix} \mathbb{Z}[i] \end{smallmatrix}

負數 \begin{smallmatrix} \mathbb{R}^- \end{smallmatrix}
整數 \begin{smallmatrix} \mathbb{Z} \end{smallmatrix}
負整數 \begin{smallmatrix} \mathbb{Z}^- \end{smallmatrix}
分數
單位分數
二進分數
規矩數
無理數
超越數
虛數
二次無理數
艾森斯坦整數 \begin{smallmatrix} \mathbb{Z}[\omega] \end{smallmatrix}

延伸

雙複數
四元數 \begin{smallmatrix} \mathbb{H} \end{smallmatrix}
共四元數
八元數 \begin{smallmatrix} \mathbb{O} \end{smallmatrix}
超數
上超實數

超複數
十六元數 \begin{smallmatrix} \mathbb{S} \end{smallmatrix}
複四元數
大實數
超實數 \begin{smallmatrix} {}^\star\mathbb{R} \end{smallmatrix}
超現實數

其他

對偶數
雙曲複數
序數
質數
同餘
可計算數
艾禮富數

公稱值
超限數
基數
P進數
規矩數
整數數列
數學常數

圓周率 \begin{smallmatrix} \pi \end{smallmatrix}
 = 3.141592653…
自然對數的底 \begin{smallmatrix} e \end{smallmatrix}
 = 2.718281828…
虛數單位 \begin{smallmatrix} i \end{smallmatrix}
 = \begin{smallmatrix} +\sqrt{-1} \end{smallmatrix}
無窮大 \begin{smallmatrix} \infty \end{smallmatrix}

無窮無限,來自於拉丁文的「infinitas」,即「沒有邊界」的意思。其數學符號為∞。它在神學哲學數學和日常生活中有著不同的概念。通常使用這個詞的時候並不涉及它的更加技術層面的定義。

在神學方面,例如神學家東斯歌德(Duns Scotus)的著作中,上帝的無限能量是運用在無約束上,而不是運用在無限量上。在哲學方面,無窮可以歸因於空間和時間。在神學和哲學兩方面,無窮又作為無限,很多文章都探討過無限、絕對、上帝和芝諾悖論等的問題。

在數學方面,無窮與下述的主題或概念相關:數學的極限阿列夫數集合論中的、戴德金-無限群、羅素悖論、超實數、射影幾何擴展的實數軸以及絕對無限。在一些主題或概念中,無窮被認為是一個超越邊界而增加的概念,而不是一個數。

在大眾文化方面,動畫電影《玩具總動員》中巴斯光年的口頭禪:「To infinity... and beyond!」(到達無窮,超越無窮),這句話也可被看作研究大型基數的集合論者的吶喊。

歷史[編輯]

早期無限的觀點[編輯]

最早關於無限的記載出現在印度夜柔吠陀(公元前1200-900)。書中說:「如果你從無限中移走或添加一部分,剩下的還是無限。」

印度耆那教的經書《Surya Prajnapti》(c. 400 BC) 把數分作三類:「可計的」、「不可計的」及「無限」。每一類再細分作三序分:

  • 可計的:小的、中的與大的。
  • 不可計的:接近不可計的、真正不可計的、沒有方法去計的,以及無限也包括在內。
  • 無限:接近無限、真正無限與無窮無盡。

現代科學家解析古代羊皮卷中的阿基米德手稿,在殘卷《方法》命題14中,發現阿基米德開始計算無窮大的數目。他採取近似於19世紀微積分集合論的手法,計算了兩組無窮大的集合,以求和的方法,證明它們之間的數目是相等的。

這是在人類記載上第一次出現無限也可以分類這一個念頭。

文藝復興時代至近代[編輯]

伽利略最先發現一個集合跟它自己的正適子集可以有相同的大小。

他用上一一對應的概念說明自然數集{1, 2, 3, 4 ...}跟子集平方數集{1,4,9,16,...}一樣多。就是1→1、2→4、3→9、4→16、.....

一一對應正是用於研究無限必要的手法。

數學中的無窮[編輯]

對於無限有以下解釋或定義

「無限不是指邊界外就沒有東西,而是指邊界外永遠有另一個邊界存在。」

實分析中的無窮[編輯]

實分析中,符號\infty稱為「無窮大」,代表無界極限x \to +\infty表示x \quad超出任意給定值,x \to -\infty表示x \quad最終小於任意給定值。標記為+\infty-\infty的點加入到實數組成的拓撲空間,就產生實數集的「兩點緊致化」。再加入代數屬性,我們就得到了超實數。也可將+\infty-\infty作為一個點,記作\infty,並得到實數的「一點緊致化」,也就是實射影線射影幾何在平面幾何上引入無窮遠線,在高維上也有類似概念。

無窮大和無窮小[編輯]

一般講無窮指的都是無窮大,但是無窮小也是一種無窮。通過y=\frac{1}{x}的映射即可把無窮大映射為無窮小。在微積分中,常用高階無窮小的概念。

無窮遠點[編輯]

無窮遠點是一個加在實數軸上後得到實射影直線\mathbb{R}P^1的點。

集合論中的無窮[編輯]

集合論中對無窮有不同的定義。德國數學家康托爾提出,對應於不同無窮集合的元素的個數(基數),有不同的「無窮」。

這裡比較不同的無窮的「大小」的時候唯一的辦法就是通過是否可以建立「一一對應關係」來判斷,而拋棄了歐幾裏得「整體大於部分」的看法。例如整數集自然數集由於可以建立一一對應的關係,它們就具有相同的無窮基數

例如,

  • 可數集合,如自然數集整數集乃至有理數集對應的基數被定義為「阿列夫零」(\aleph_0)。
  • 可數集合「大」的稱之為不可數集合,如實數集,其基數與自然數的冪集相同,為二的阿列夫零次方(2^{\aleph_0}),被定義為「阿列夫壹」(\aleph_1)。
  • 由於一個無窮集合的冪集總是具有比它本身更高的基數,所以通過構造一系列的冪集,可以證明無窮的基數的個數是無窮的。然而有趣的是,無窮基數的個數比任何基數都多,從而它是一個比任何無窮大都要大的「無窮大」,它不能對應於一個基數,否則會產生康托爾悖論的一種形式。

無窮的虛數形式標記[編輯]

無窮是自然科學理論及現象描述中的重要概念及思想,當取

s = \arctan \left( i \right)i = \sqrt{-1}\,

時,通過Euler公式可得

-i \times \tanh(i \cdot s) = \tan(s) = i
\exp(i \cdot s) = 0

這表明is \quad是對負無窮大(- \infty)予以虛數形式的標記[1]

無窮影象[編輯]

被普遍認為的「兩塊鏡子產生無窮影象」實際上是錯的。首先,在物理學界,速度是有限的(每秒299,792,458米),鏡子上我們能看到的影像是因為光在鏡子上反射才會出現。可是,光的速度有限,因此兩塊鏡子產生的影象亦會有限,而且影象的數目會以一直變慢的增長率增加。

無窮和微積分[編輯]

參上條「實分析中的無窮指出:無窮指無邊界。」通過微小計量(△)進行微積分運算(近似計算有邊界的封閉形狀),永遠達不到的無邊界的開放形狀被稱為無窮(∞)。 為了取到無窮來進行微分運算,必須簡單定義如下映射:△=1/∞(無窮小的長度)或△=1/Ω(無窮小的面積)。 該基礎映射無法用任何微積分的方法進行證明,屬於降維運算,把具備長度和面積屬性的數字1降到了(因過分小而)不存在於二維平面上的,一個自然點△。 △是一個一維概念。 △與 變數x(可變長度和面積)相乘後,獲得了長度和面積屬性,因此△x可以干涉二維平面來實現堆積運算(可積)。

參考條目[編輯]

參考文獻[編輯]

  1. ^ YAN Kun. Primary annotation of symbol basing on imaginary form about infinity(R).Xi'an Modern Nonlinear Science Applying Institute, 18 March 2009.