多邊形

維基百科,自由的百科全書
前往: 導覽搜尋
多邊形的分類

多邊形平面封閉圖形、由有限線段(大於2)組成,且首尾連接起來劃出的形狀。

術語[編輯]

頂點

指三角形中任何兩邊相交所形成的交點或錐體的尖頂。

內角 
頂點相鄰的兩邊所組成的角度。n邊形的內角和為(n-2)×180°
外角 
對於某內角來說,其相應的外角角度為180°減去內角角度,多邊形的所有外角之和恆等於360°。
對角線 
以不毗連頂點為端點的線段

分類[編輯]

簡單多邊形[編輯]

簡單多邊形是邊不相交的多邊形,又稱佐敦多邊形,因為佐敦曲線定理可以用來證明這樣的多邊形能將平面分成兩個區域,即區內和區外。

拓撲學上,簡單多邊形和圓盤同胚

計算幾何學有幾個重要問題,其輸入都是簡單多邊形:

  • 點在多邊形內:決定一點是否在多邊形內
  • 多邊形面積
  • 將多邊型切割成三角形

凸性區分,簡單多邊形分凸多邊形凹多邊形,「凸」的表示它的內角都不大於180°,凹反之。

其他的特殊多邊形還有:

圓內接多邊形:頂點都在同一個圓上的多邊形。
等邊多邊形:各邊之長都相等的多邊形。
等角多邊形:各內角都相等的多邊形。

正多邊形[編輯]

正多邊形是各邊都等長,各內角都相等的多邊形,可分為兩種:凸正多邊形凹正多邊形。談及「正多邊形」時一般指前者,後者一般稱作正多角星。對於指定的邊數,它們都是唯一的,比如正五邊形與正五角星。在邊數相同、周長相等的多邊形中,凸正多邊形面積最大(參見等周問題 )。

若且唯若邊數是2的費馬質數時,正多邊形可以用尺規作出(參見可作圖多邊形)。

  • 面積:
  • 內切圓半徑:
  • 外接圓半徑:

公式[編輯]

面積[編輯]

《1》. 對用(按逆時針排列)描述的多邊形,其面積為:


若按順時針排列,取負數即可。
《2》. 對用邊長和外角描述的多邊形,其面積為:


《3》. 用邊長和內角描述如下
N邊形S=這個代表N邊形已知(N-1)個邊的長度,而且知道其中任意兩邊的夾角,對於這兩邊求和後的一半便是面積
註明:K=0或1,目的是為了表明每個因式的正負號與M,N的交點位置有關

《4》. 一般化平面凸多邊形面積公式
一般化平面凸N邊形面積平方式公式法則;
2017年5月臺灣嘉義的李輝濱先生提出以獨創歸納證明出一套具規律性一般化原型公式的5個綜合規則法則,清楚明細地表列出一般化平面凸多邊形面積平方式公式,其公式法則說明如下;
任給一平面凸 邊形 , 令邊長線段===,…,===,…,===,, ≥4 , 為正整數 ,且令 , 現在連接 兩頂點,形成一對角線 將此凸邊形分割成兩個小多邊形,則被歸納出的每一個原型凸多邊形面積平方式公式的內容恰好共分成下列三部份;
[1]. 此平面凸邊形被分割成兩個小多邊形, 分別為 多邊形 和多邊形 ,兩個小多邊形的共同邊長在公式 中是不存在的,而其餘還各自有個邊長分別為,, , … , , , …, , 形成兩組不同的邊長集合,現在先從每一組邊長集合內各自任取2相異邊長相乘, 之後使每一乘積再各自完全平方,最後再將所有兩組的平方項相加,這樣就構成了被歸納出的公式中第一部份[ ]內的平方項的和。此[ ]內共有 項, 這完整的第一部份應記為下列型式;
+++…++++…+++…++……++++…++++…+++…+++…++……+
第一部份[ ]前的係數 則是計算過程中獲得之必然常數。
[2]. 公式中第二部份[ ]內項數的組成結構:由第一組邊長集合,, , … , 中依序取出各個邊長各自平方和+++…++ ,再減去第二組邊長集合 , , …, , 的各個邊長各自平方和++ … ++ , 如此就構成了公式中第二部份[ ]之平方內的 個項。這完整的第二部份應記為下列型式 ;
+++…++-++ … ++
而係數 也是演算時獲得之必然常數。
[3].公式中組成第三部分的每一項是由此多邊形4個不同邊長乘積再乘上cosine函數所構成的。所有cosine項前的係數 也是運算出的必然常數,在第三部分裡呈現出所有cosine項的總項數恰好等於由邊形中任取4個不同邊長的選法數目,即共有 項,每項都由4個不同邊長乘積組成; 這麼多項須按邊長右下標數字的順序循環排列,形成以下各循環組 ;
第1循環組: 1234, 2345, 3456, 4567, 5678, … ,(n-2)(n-1)n1, (n-1)n12, n123
第2循環組: 1235, 2346, 3457, 4568, 5679, …, (n-2)(n-1)n2, (n-1)n13, n124
第3循環組: 1236, 2347, 3458, 4569, … , (n-2)(n-1)n3, (n-1)n14, n125
…………
一直排列到所有的 項都出現為止,而且每一項都不得重複!
例1 : 六邊形循環組如下;
第1循環組: , , , , ,
第2循環組: , , , , ,
第3循環組: , ,
,總共有 個不同項。
[4].第三部份每一cosine項( )裡呈現的角度組合則以下述之內角排列法則來規範; 內角排列法則是根據每一個cosine項前的4個邊長係數右下標數字來決定, 請 看第一個cosine項係數為 ,將其分成前後兩對,前一對是 ,這 的兩個邊長在多邊形圖形上所夾的角度是 。而後一對 在多邊形圖形上 所夾的角度是 。這 + 就是出現於第一個cosine項( )內的角度排列, 組合 起來就成為 cos(+ ) !
再看九邊形某一個cosine項係數為 ,將其分成前後兩對,前一對是 , 這 的兩個邊長在多邊形圖形上所夾的角度是 。而後一對在九邊形圖形上依由順序所夾的角度是 + + 。這+++ 就是出 現於這cosine項( )內的角度排列, 組合起來成為 cos(+++)!
面積平方式公式任一cosine項( )裡的角度組合都以上述之內角排列法則來操作。
[5].第三部份各cosine項循環組自然出現的正負符號則按下列規律形成 ;
任一cosine項的( )內所出現角度組合之內角個數與其本身的正負符號之間存在著特定的關聯性!這個 相關性特徵如下; 令任給一cosine項的四個邊長係數為,將此係數 分成前後兩對;前一對是 ,這兩個邊長依順序由a至x在多邊形上所夾的內角數目有個。而後一對是 ,這兩個邊長依順序由b至y在多邊形上所夾的內角數目有個。 令+= , 即為cosine項( )內的角度總數目,這被歸納出的正負符號關係式為 ,意即由cosine項( )內的角度總數目來決定正負符號。當cosine項( )內的角度總數目為奇數時,此cosine項係數為正。當cosine項( )內的角度總數目為偶數時,此cosine項係數為負。因此第三部分每一個 cosine項的完整敘述應記為下列型式 ;

 cos+…++++…++


的下標 x-1, x-2, … , x-( -1)中任一個出現負數或零,那麼這個負數或零必須加上原凸多邊形的總邊數使其為正。同樣地, y-1,y-2, … , y-( -1)亦是如此。
例2 : 平面凸九邊形由邊長係數為所帶領的一個完整 cosine項為

    cos 
   = cos  

例3 : 平面凸九邊形由邊長係數為所帶領的一個完整 cosine項為

     cos   
   = − cos    


由遵循上述的5個綜合規則即可用來寫成原型平面凸多邊形面積平方式公式。

1. 應用5個綜合規則寫出平面凸四邊形面積平方式公式 ;
在平面上給定一個凸四邊形,令線段 = = = = , ,並令此凸四邊形面積為 ,則 , 故連接兩個頂角使形成一對角線, 將此凸四邊形分割成三角形和另一個三角形, 再參照前述的5個綜合規則,則此凸四邊形的面積平方式公式為

=[(+]+)-(+)cos  ……(4-1)

此方程式 (4-1)式就是 原型的平面凸四邊形面積平方式公式!繼續運算, 得

=[+-(+--+8]-[cos+1] 
 =[(+-(-][(+-(-]-

再因式分解, 即得

=()()()         ……(4-2)

方程式 (4-2)式即為著名的半角型 Bretschneider 平面凸四邊形面積平方式公式! 若此四邊形內接於一圓,則由兩個對角互為補角關係,使 (4-2)式歸化成 圓內接四邊形面積的Brahmagupta公式,令圓內接四邊形面積為 ,則
=()()()() ……(4-3)
方程式 (4-3)式即為著名的Brahmagupta面積平方式公式! 若再令 = 0 ,則方程式 (4-2)式與 (4-3)式全部歸化成Heron海龍(海倫)公式! 故此方程式 (4-1)式即完美統一了 Bretschneider等三個面積平方式公式!

2. 應用5個綜合規則寫出平面凸五邊形面積平方式公式;
在平面上給定一個凸五邊形 , 令線段 = = = = =,令 此凸五邊形面積為 ,當 ,則 , 故連接兩個頂角 使形成一對角線 ,將此凸五邊形分割成三角形和另一個四邊形 ,再參照前述的5個綜合規則, 寫出平面凸五邊形面積平方式公式如下;
=[(+++]+)-(++)[cos+cos+cos+cos+cos] …………(5-1)
此方程式 (5-1)式就是原型的平面凸五邊形面積平方式公式! 若令 = 0 ,使頂點 趨近於 ,則平面凸五邊形即退化成平面凸四邊形,而方程式 (5-1)式即退化成 (4-1)式! 故此方程式 (5-1)式必完美統一了 Bretschneider等三個面積平方式公式!

3. 應用5個綜合規則寫出平面凸六邊形面積平方式公式;
在平面上給定一個凸六邊形 , 令線段 = = = = = =,令 此凸六邊形面積為 ,當,則 , 故連接兩個頂角 使形成一對角線 ,將此凸六邊形分割成四邊形和另一個四邊形 ,再參照前述的5個綜合規則, 寫出平面凸六邊形面積平方式公式如下;
=[+++++]++)-(++)[-cos-cos-cos-cos-cos-cos]+[cos+cos+cos+cos+cos+cos]+[-cos-cos-cos] …………(6-1)
此方程式 (6-1)式就是 原型的平面凸六邊形面積平方式公式! 若令 = 0 ,使頂點 趨近於 ,則平面凸六邊形即退化成平面凸五邊形,而方程式 (6-1)式即退化成 (5-1)式的相同類型!

4. 應用5個綜合規則寫出平面凸七邊形面積平方式公式;
在平面上給定一個凸七邊形 , 令線段 = = = = = = =,令 此凸七邊形面積為 ,當 ,則 , 故連接兩個頂角 使形成一對角線 ,將此凸七邊形分割成四邊形和另一個五邊形 ,再參照前述的5個綜合規則, 則驗證出的平面凸七邊形面積平方式公式如下;
=[++++++++)]++)-(+++)[-cos-cos-cos-cos-cos-cos-cos]+[cos+cos+cos+cos+cos+cos+cos]+[-cos-cos-cos-cos-cos-cos-cos]+[-cos-cos+cos-cos-cos-cos-cos]+[cos+cos+cos+cos+cos+cos+cos] ………… (7-1)
此方程式 (7-1)式就是 原型的平面凸七邊形面積平方式公式! (7-1)式第三部份總共有 個cosine項, 分成5循環組, 每一循環組有7項。依照所歸納出的循環順序有條理的將它們排列出來, 不管其有多複雜且都完全正確沒有一項重複! 若令 = 0 ,使頂點 角度亦等於零, 則平面凸七邊形即退化成平面凸六邊形,而方程式 (7-1)式經過簡單的轉換後即退化成 (6-1)式!
…………
由上述統整歸納出的5個綜合法則即可圓滿無瑕地繼續寫出系列的八邊形、九邊形、…等原型平面凸多邊形面積平方式公式。若需要, 可再經適當地運算以求得半角型的面積平方式公式!這些被歸納出的原型一般化平面凸 N邊形面積平方式公式已然涵蓋統一了所有以餘弦cosine函數式表達的平面凸多邊形面積公式,包括 Bretschneider、Brahmagupta、Heron、Archimedes等等面積公式。

參考文獻[編輯]

李輝濱 預測與驗證平面凸多邊形面積公式 國立台灣師範大學科學教育中心發行出刊的科學教育月刊 2017年 5, 6月份的 398期與 399期期刊。

參見[編輯]

外部連結[編輯]