(z 2 − 1)(z − 2 − i )2 / z 2 + 2 + 2i 的色相環複變函數圖形 。色相 表示函數的輻角,飽和度 與明度 表示函數的幅值。
複數 ,為實數 的延伸 ,它使任一多項式 方程式 都有根 。複數當中有個「虛數單位 」
i
{\displaystyle i}
,它是
−
1
{\displaystyle -1}
的一個平方根 ,即
i
2
=
−
1
{\displaystyle {{i}^{2}}=-1}
。任一複數都可表達為
x
+
y
i
{\displaystyle x+yi}
,其中
x
{\displaystyle x}
及
y
{\displaystyle y}
皆為實數,分別稱為複數之「實部」和「虛部」。
複數的發現源於三次方程式 的根的表達式 。數學上,「複」字表明所討論的數體 為複數,如複矩陣 、複變函數 等。
形式上,複數系統可以定義為普通實數的虛數i的代數擴展 。這意味著複數可以作為變量i中的多項式進行加,減和乘,並施加規則
i
2
=
−
1
{\displaystyle {{i}^{2}}=-1}
。此外,複數也可以除以非零複數。母體而言,複數系統是一個體 。
在幾何上,複數通過將水平軸用於實部,將垂直軸用於虛部,將一維 數線 的概念擴展到二維 複平面 。這些數字的點位於複平面的垂直軸上。虛部 為零的複數可以看作是實數。
但是,複數允許使用更豐富的代數結構,其中包括在向量 空間中不一定可用的附加運算。例如,兩個複數的乘積總是再次產生一個複數,並且不應將其誤認為是涉及向量的常規「乘積」。
最早提到有關負數 的平方根 的文獻出於公元1世紀古希臘數學家 亞歷山卓的希羅 ,他考慮的是一種不可能的平頂金字塔的體積,計算結果會是
81
−
144
=
3
i
7
{\displaystyle {\sqrt {81-144}}=3i{\sqrt {7}}}
,但這對他是不可理解的,所以他只單純地把為正的
144
−
81
=
3
7
{\displaystyle {\sqrt {144-81}}=3{\sqrt {7}}}
。[ 1]
16世紀義大利數學家(請參看塔塔利亞 和卡爾達諾 )得出一元三次 和四次方程式 的根的表達式,並發現即使只考慮實數根,仍不可避免面對負數方根。17世紀笛卡兒 稱負數方根為虛數 ,「子虛烏有的數」,表達對此的無奈和不忿。18世紀初棣美弗 及歐拉 大力推動複數的接受。1730年,棣美弗提出棣美弗公式 :
(
cos
θ
+
i
sin
θ
)
n
=
cos
n
θ
+
i
sin
n
θ
{\displaystyle (\cos \theta +i\sin \theta )^{n}=\cos n\theta +i\sin n\theta }
,
而歐拉則在1748年提出分析學 中的歐拉公式 [ 2] :
cos
θ
+
i
sin
θ
=
e
i
θ
{\displaystyle \cos \theta +i\sin \theta =e^{i\theta }}
,
18世紀末,複數漸漸被大多數人接受,當時卡斯帕爾·韋塞爾 提出複數可看作平面上的一點。[ 3] 數年後,高斯 再提出此觀點並大力推廣,複數的研究開始高速發展。詫異的是,早於1685年約翰·沃利斯 已經在De Algebra tractatus 提出此一觀點。
卡斯帕爾·韋塞爾的文章發表在1799年的Proceedings of the Copenhagen Academy 上,以當今標準來看,也是相當清楚和完備。他又考慮球體 ,得出四元數 並以此提出完備的球面三角學 理論。1804年,Abbé Buée亦獨立地提出與沃利斯相似的觀點,即以
±
−
1
{\displaystyle \pm {\sqrt {-1}}}
來表示平面上與實數軸垂直的單位線段。1806年,Buée的文章正式刊出,同年讓-羅貝爾·阿爾岡 亦發表同類文章,而阿岡的複數平面成了標準。1831年高斯認為複數不夠普及,他發表了一篇備忘錄,奠定複數在數學的地位。[ 4]
柯西 及阿貝爾 的努力,掃除了複數使用的最後顧忌,後者更是首位以複數研究著名的。
複數吸引了著名數學家 的注意,包括庫默爾 (1844年)、克羅內克 (1845年)、Scheffler (1845年、1851年、1880年)、Bellavitis (1835年、1852年)、喬治·皮科克 (1845年)及德·摩根 (1849年)。莫比烏斯 發表了大量有關複數幾何的短文,約翰·彼得·狄利克雷 將很多實數概念,例如質數 ,推廣至複數。
費迪南·艾森斯坦 研究
a
+
b
j
{\displaystyle a+bj}
,其中
j
{\displaystyle j}
是
x
3
−
1
=
0
{\displaystyle x^{3}-1=0}
的複根。其他如
x
k
−
1
=
0
{\displaystyle x^{k}-1=0}
(
k
{\displaystyle k}
是質數)亦有考慮。類以推廣的先鋒為庫默爾的完美數 理論,經由菲利克斯·克萊因 (1893年)以幾何角度加以簡化。伽羅華 其後提出更一般的推廣——阿貝爾-魯菲尼定理 ,解決了五次以上多項式 的根不能表達問題。
儘管可以使用其他表示法,複數通常寫為如下形式:
a
+
b
i
{\displaystyle a+bi}
這裡的
a
{\displaystyle a}
和
b
{\displaystyle b}
是實數 ,而i 是虛數單位 ,它有著性質
i
2
=
−
1
{\displaystyle {{i}^{2}}=-1}
。實數
a
{\displaystyle a}
叫做複數的實部 ,而實數
b
{\displaystyle b}
叫做複數的虛部 。實數可以被認為是虛部為零的複數;就是說實數
a
{\displaystyle a}
等價於複數
a
+
0
i
{\displaystyle a+0i}
。實部為零且虛部不為零的複數也被稱作「純虛數」;而實部不為零且虛部也不為零的複數也被稱作「非純虛數」或「雜虛數」。
例如,
3
+
2
i
{\displaystyle 3+2i}
是複數,它的實部為3虛部為2。如果
z
=
a
+
i
b
{\displaystyle z=a+ib}
,則實部(
a
{\displaystyle a}
)被指示為
Re
(
z
)
{\displaystyle \operatorname {Re} (z)}
或
ℜ
(
z
)
{\displaystyle \Re (z)}
,而虛部(
b
{\displaystyle b}
)被指示為
Im
(
z
)
{\displaystyle \operatorname {Im} (z)}
或
ℑ
(
z
)
{\displaystyle \Im (z)}
。
在某些領域(特別是電子工程 ,這裡的i 是電流 的符號)中,虛部
i
{\displaystyle i}
被替代寫為
j
{\displaystyle j}
,所以複數有時寫為
a
+
j
b
{\displaystyle a+jb}
。
所有複數的集合 通常指示為
C
{\displaystyle C}
,或者用黑板粗體 寫為
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
。實數
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
可以被當作
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
的子集 ,通過把實數的所有成員當作複數:
a
=
a
+
0
i
{\displaystyle a=a+0i}
。
複數中的虛數是無法比較大小的,即兩個虛數只有相等和不等兩種等量關係。
兩個複數是相等的,若且唯若 它們的實部是相等的並且它們的虛部是相等的。就是說,設
a
{\displaystyle a}
,
b
{\displaystyle b}
,
c
{\displaystyle c}
,
d
{\displaystyle d}
為實數,則
a
+
b
i
=
c
+
d
i
{\displaystyle a+bi=c+di}
若且唯若
a
=
c
{\displaystyle a=c}
並且
b
=
d
{\displaystyle b=d}
。
通過形式上應用代數 的結合律 、交換律 和分配律 ,再加上等式
i
2
=
−
1
{\displaystyle {{i}^{2}}=-1}
,定義複數的加法、減法、乘法和除法:
加法 :
(
a
+
b
i
)
+
(
c
+
d
i
)
=
(
a
+
c
)
+
(
b
+
d
)
i
{\displaystyle \,(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i}
減法 :
(
a
+
b
i
)
−
(
c
+
d
i
)
=
(
a
−
c
)
+
(
b
−
d
)
i
{\displaystyle \,(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i}
乘法 :
(
a
+
b
i
)
(
c
+
d
i
)
=
a
c
+
b
c
i
+
a
d
i
+
b
d
i
2
=
(
a
c
−
b
d
)
+
(
b
c
+
a
d
)
i
{\displaystyle \,(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi^{2}=(ac-bd)+(bc+ad)i}
除法 :
(
a
+
b
i
)
(
c
+
d
i
)
=
(
a
+
b
i
)
(
c
−
d
i
)
(
c
+
d
i
)
(
c
−
d
i
)
=
a
c
+
b
c
i
−
a
d
i
−
b
d
i
2
c
2
−
(
d
i
)
2
=
(
a
c
+
b
d
)
+
(
b
c
−
a
d
)
i
c
2
+
d
2
=
(
a
c
+
b
d
c
2
+
d
2
)
+
(
b
c
−
a
d
c
2
+
d
2
)
i
{\displaystyle \,{\frac {(a+bi)}{(c+di)}}={\frac {(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}}={\frac {ac+bci-adi-bdi^{2}}{c^{2}-(di)^{2}}}={\frac {(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^{2}+d^{2}}}=\left({ac+bd \over c^{2}+d^{2}}\right)+\left({bc-ad \over c^{2}+d^{2}}\right)i}
複數可定義為實數
a
,
b
{\displaystyle a,b}
組成的有序對 ,而其相關之和 及積 為:
(
a
,
b
)
+
(
c
,
d
)
=
(
a
+
c
,
b
+
d
)
{\displaystyle (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)}
,
(
a
,
b
)
⋅
(
c
,
d
)
=
(
a
c
−
b
d
,
b
c
+
a
d
)
{\displaystyle (a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,bc+ad)}
,
複數數系是一個體 ,複數體常以
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
來表示。
一個實數
a
{\displaystyle a}
等同於複數
(
a
,
0
)
{\displaystyle (a,0)}
,故實數體為複數體的子體 。虛數單位
i
{\displaystyle i}
就是複數
(
0
,
1
)
{\displaystyle (0,1)}
。此外,還有:
加法單位元素 (「零元素」):
(
0
,
0
)
{\displaystyle (0,0)}
乘法單位元素(「單位元素」):
(
1
,
0
)
{\displaystyle (1,0)}
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
的加法反元素 :
(
−
a
,
−
b
)
{\displaystyle (-a,-b)}
非零
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
的乘法反元素 (倒數):
(
a
a
2
+
b
2
,
−
b
a
2
+
b
2
)
{\displaystyle \left({a \over a^{2}+b^{2}},{-b \over a^{2}+b^{2}}\right)}
。
複數體亦可定為代數數 的拓撲閉包 或實數體的代數閉包 。
先把坐標軸畫出來,橫的叫實數軸,豎的叫虛數軸,然後確定0的位置,
z
=
a
+
b
i
{\displaystyle z=a+bi}
可以用二維空間來表示出來。
複數
z
{\displaystyle z}
可以被看作在被稱為阿甘得圖 (得名於讓-羅貝爾·阿岡 ,也叫做高斯 平面)的二維笛卡兒坐標系 內的一個點或位置向量 。這個點也就是這個複數
z
{\displaystyle z}
可以用笛卡兒(直角)坐標指定。複數的笛卡兒坐標是實部
x
=
ℜ
z
{\displaystyle x=\Re z}
和虛部
y
=
ℑ
z
{\displaystyle y=\Im z}
。複數的笛卡兒坐標表示叫做複數的「笛卡兒形式」、「直角形式」或「代數形式」。
z
=
r
e
i
ϕ
{\displaystyle z=re^{i\phi }}
,則
|
z
|
=
r
{\displaystyle |z|=r}
是
z
{\displaystyle z}
的「絕對值 」 (「模 」 、「幅值 」 )。如果
z
=
a
+
b
i
{\displaystyle z=a+bi}
,則
|
z
|
=
a
2
+
b
2
{\displaystyle |z|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}
.
對所有
z
{\displaystyle z}
及
w
{\displaystyle w}
,有
|
z
|
−
|
w
|
≤
|
z
+
w
|
≤
|
z
|
+
|
w
|
{\displaystyle |z|-|w|\leq |z+w|\leq |z|+|w|}
|
z
w
|
=
|
z
|
|
w
|
{\displaystyle |zw|=|z|\;|w|}
|
z
w
|
=
|
z
|
|
w
|
{\displaystyle \left|{\frac {z}{w}}\right|={\frac {|z|}{|w|}}}
當定義了距離
d
(
z
,
w
)
=
|
z
−
w
|
{\displaystyle d(z,w)=\left|z-w\right|}
,複數體便成了度量空間 ,我們亦可談極限 和連續 。加法、乘法及除法都是連續的運算。
z
=
a
+
i
b
{\displaystyle z=a+ib}
的共軛複數 定義為
z
=
a
−
i
b
{\displaystyle z=a-ib}
,記作
z
¯
{\displaystyle {\overline {z}}}
或
z
∗
{\displaystyle z^{*}}
。如圖所示,
z
¯
{\displaystyle {\overline {z}}}
是
z
{\displaystyle z}
關於實數軸的「對稱點」。有
z
+
w
¯
=
z
¯
+
w
¯
{\displaystyle {\overline {z+w}}={\overline {z}}+{\overline {w}}}
z
w
¯
=
z
¯
⋅
w
¯
{\displaystyle {\overline {zw}}={\overline {z}}\cdot {\overline {w}}}
(
z
w
)
¯
=
z
¯
w
¯
{\displaystyle {\overline {\left({\frac {z}{w}}\right)}}={\frac {\overline {z}}{\overline {w}}}}
z
¯
¯
=
z
{\displaystyle {\overline {\overline {z}}}=z}
z
¯
=
z
{\displaystyle {\overline {z}}=z}
若且唯若
z
{\displaystyle z}
是實數
|
z
|
=
|
z
¯
|
{\displaystyle |z|=|{\overline {z}}|}
|
z
|
2
=
z
z
¯
{\displaystyle |z|^{2}=z{\overline {z}}}
z
−
1
=
z
¯
|
z
|
−
2
{\displaystyle z^{-1}={\overline {z}}|z|^{-2}}
若
z
{\displaystyle z}
非零。這是計算乘法逆最常用的等式。
對於所有代數運算
f
{\displaystyle f}
,共軛值是可交換的。這即是說
f
(
z
¯
)
=
f
(
z
)
¯
{\displaystyle f({\overline {z}})={\overline {f(z)}}}
。一些非代數運算如正弦 「
sin
{\displaystyle \sin }
」亦有此性質。這是由於
i
{\displaystyle i}
的不明確選擇——
x
2
=
−
1
{\displaystyle x^{2}=-1}
有二解。可是,共軛值是不可微分的(參見全純函數 )。
一複數
z
=
r
e
i
ϕ
{\displaystyle z=re^{i\phi }}
的「幅角」或「相位」為
ϕ
{\displaystyle \phi }
。此值對模
2
π
{\displaystyle 2\pi }
而言是唯一的。
對於乘法和除法分別有:
r
e
α
i
s
e
β
i
=
(
r
s
)
e
(
α
+
β
)
i
{\displaystyle \,re^{\alpha i}se^{\beta i}=(rs)e^{(\alpha +\beta )i}}
(即「模值相乘,幅角相加」)
r
e
α
i
s
e
β
i
=
r
s
e
(
α
−
β
)
i
{\displaystyle \,{\frac {re^{\alpha i}}{se^{\beta i}}}={\frac {r}{s}}e^{(\alpha -\beta )i}}
(即「模值相除,幅角相減」)
X = A + B
X = AB
X = A *
考慮一個平面 。一個點是原點0。另一個點是單位1。
兩個點A 和B 的和 是點X = A + B 使得頂點 0, A , B 的三角形 和頂點X , B , A 的三角形是全等 的。
兩個點A 和B 的積 是點X = AB 使得頂點0, 1, A 的三角形和頂點0 , B , X 的三角形是相似 的。
點A 的共軛複數 是點X = A * 使得頂點0, 1, A 的三角形和頂點0, 1, X 的三角形相互是鏡像 。
複數
z
{\displaystyle z}
也可以用極坐標 來表示。
z
{\displaystyle z}
所對應的極坐標由叫做絕對值 或模 的
r
=
|
z
|
≥
0
{\displaystyle r=\left\vert z\right\vert \geq 0}
和叫做輻角 的
φ
=
arg
z
{\displaystyle \varphi =\arg z}
組成。若
r
=
0
{\displaystyle r=0}
,不論
φ
{\displaystyle \varphi }
值為何,
z
=
0
{\displaystyle z=0}
。為了避免一個複數具有多種極坐標表示的情況,通常會設置
arg
0
=
0
{\displaystyle \arg 0=0}
,從而讓
z
=
0
{\displaystyle z=0}
所對應的
φ
{\displaystyle \varphi }
具有唯一的值:
0
{\displaystyle 0}
。
r
>
0
{\displaystyle r>0}
時,複數在輻角
φ
{\displaystyle \varphi }
模以
2
π
{\displaystyle 2\pi }
後是唯一的;就是說,對於兩個被視為極坐標表示的複數而言,若它們的輻角之差是
2
π
{\displaystyle 2\pi }
的整數倍數,則這兩個複數等價。因此,通常會限制
φ
{\displaystyle \varphi }
在區間
(
−
π
,
π
]
{\displaystyle (-\pi ,\pi ]}
內,也就是說
−
π
<
φ
≤
π
{\displaystyle -\pi <\varphi \leq \pi }
,以此來避免一個複數具有多種極坐標表示的情況。
極坐標形式的寫法
z
=
r
(
cos
φ
+
i
sin
φ
)
{\displaystyle z=r\,(\cos \varphi +i\sin \varphi )}
,
被叫做「三角形式」。有時使用符號cis φ簡寫c os φ + i s in φ。
使用歐拉公式 還可以寫為
z
=
r
e
i
φ
,
{\displaystyle z=r\,\mathrm {e} ^{i\varphi }\,,}
這叫做「指數形式」。
x
=
r
cos
φ
{\displaystyle x=r\cos \varphi }
y
=
r
sin
φ
{\displaystyle y=r\sin \varphi }
r
=
x
2
+
y
2
{\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}
φ
=
{
arctan
(
y
x
)
if
x
>
0
arctan
(
y
x
)
+
π
if
x
<
0
and
y
≥
0
arctan
(
y
x
)
−
π
if
x
<
0
and
y
<
0
+
π
2
if
x
=
0
and
y
>
0
−
π
2
if
x
=
0
and
y
<
0
u
n
d
e
f
i
n
e
d
if
x
=
0
and
y
=
0.
{\displaystyle \varphi ={\begin{cases}\arctan({\frac {y}{x}})&{\mbox{if }}x>0\\\arctan({\frac {y}{x}})+\pi &{\mbox{if }}x<0{\mbox{ and }}y\geq 0\\\arctan({\frac {y}{x}})-\pi &{\mbox{if }}x<0{\mbox{ and }}y<0\\+{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y>0\\-{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y<0\\\mathrm {undefined} &{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y=0.\end{cases}}}
前面的公式要求非常繁雜的情況區分。但是很多程式語言提供了經常叫做atan2 一個變體的反正切 函數來處理這些細節。使用反餘弦函數的公式要求更少的情況區分:
φ
=
{
+
arccos
x
r
if
y
≥
0
and
r
≠
0
−
arccos
x
r
if
y
<
0
u
n
d
e
f
i
n
e
d
if
r
=
0.
{\displaystyle \varphi ={\begin{cases}+\arccos {\frac {x}{r}}&{\mbox{if }}y\geq 0{\mbox{ and }}r\neq 0\\-\arccos {\frac {x}{r}}&{\mbox{if }}y<0\\\mathrm {undefined} &{\mbox{if }}r=0.\end{cases}}}
在極坐標形式下乘法、除法、指數和開方根要比笛卡兒形式下容易許多。
使用三角恆等式 得到
r
1
e
i
φ
1
⋅
r
2
e
i
φ
2
=
r
1
r
2
e
i
(
φ
1
+
φ
2
)
{\displaystyle r_{1}\,e^{i\varphi _{1}}\cdot r_{2}\,e^{i\varphi _{2}}=r_{1}\,r_{2}\,e^{i(\varphi _{1}+\varphi _{2})}}
,
和
r
1
e
i
φ
1
r
2
e
i
φ
2
=
r
1
r
2
e
i
(
φ
1
−
φ
2
)
{\displaystyle {\frac {r_{1}\,e^{i\varphi _{1}}}{r_{2}\,e^{i\varphi _{2}}}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}\,e^{i(\varphi _{1}-\varphi _{2})}}
。
依據棣美弗定理 做整數冪的指數運算,
(
r
e
i
φ
)
n
=
r
n
e
i
n
φ
{\displaystyle {\big (}r\,e^{i\varphi }{\big )}^{n}=r^{n}\,e^{in\varphi }}
。
任意複數冪的指數運算在條目指數函數 中討論。
兩個複數的加法只是兩個向量的向量加法 ,乘以一個固定複數的可以被看作同時旋轉和伸縮。
乘以
i
{\displaystyle i}
對應於一個逆時針旋轉90 度 (
π
2
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}
弧度 )。方程式
i
2
=
−
1
{\displaystyle i^{2}=-1}
的幾何意義是順序的兩個90度旋轉導致一個180度(
π
{\displaystyle \pi }
弧度)旋轉。甚至算術中的
(
−
1
)
×
(
−
1
)
=
+
1
{\displaystyle (-1)\times (-1)=+1}
都可以被在幾何上被理解為兩個180度旋轉的組合。
任何數的所有方根 ,實數或複數的,都可以用簡單的算法 找到。
n
{\displaystyle n}
次方根給出為
r
e
i
φ
n
=
r
n
e
i
(
φ
+
2
k
π
n
)
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{re^{i\varphi }}}={\sqrt[{n}]{r}}\ e^{i\left({\frac {\varphi +2k\pi }{n}}\right)}}
對於
k
=
0
,
1
,
2
,
…
,
n
−
1
{\displaystyle k=0,1,2,\ldots ,n-1}
,這裡的
r
n
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{r}}}
表示
r
{\displaystyle r}
的主
n
{\displaystyle n}
次方根。
下表給出任何複數
a
,
b
,
c
{\displaystyle a,b,c}
的加法 和乘法 的基本性質。
性質
加法
乘法
封閉性
a
+
b
∈
C
{\displaystyle a+b\in \mathbb {C} }
a
×
b
∈
C
{\displaystyle a\times b\in \mathbb {C} }
結合律
a
+
(
b
+
c
)
=
(
a
+
b
)
+
c
{\displaystyle a+(b+c)=(a+b)+c}
a
×
(
b
×
c
)
=
(
a
×
b
)
×
c
{\displaystyle a\times (b\times c)=(a\times b)\times c}
交換律
a
+
b
=
b
+
a
{\displaystyle a+b=b+a}
a
×
b
=
b
×
a
{\displaystyle a\times b=b\times a}
存在單位元素
a
+
0
=
a
{\displaystyle a+0=a}
a
×
1
=
a
{\displaystyle a\times 1=a}
存在反元素
a
+
(
−
a
)
=
0
{\displaystyle a+(-a)=0}
a
×
1
a
=
1
(
a
≠
0
)
{\displaystyle a\times {\frac {1}{a}}=1\quad (a\neq 0)}
分配律
a
×
(
b
+
c
)
=
a
×
b
+
a
×
c
{\displaystyle a\times (b+c)=a\times b+a\times c}
這是個實用價值不大,但具數學意義的表達式 ,是將複數看作能旋轉 及縮放 二維位置矢量的2×2實數矩陣 ,即是
a
+
i
b
↔
(
a
−
b
b
a
)
=
r
[
cos
φ
−
sin
φ
sin
φ
cos
φ
]
=
r
exp
(
φ
[
0
−
1
1
0
]
)
,
{\displaystyle a+ib\leftrightarrow {\begin{pmatrix}a&-b\\b&\;\;a\end{pmatrix}}=r{\begin{bmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \varphi &\cos \varphi \end{bmatrix}}=r\exp \left(\varphi {\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}}\right),}
其中
a
{\displaystyle a}
及
b
{\displaystyle b}
為實數。可算出此類矩陣的和、積及乘法逆都是此類矩陣。此外
(
a
−
b
b
a
)
=
a
(
1
0
0
1
)
+
b
(
0
−
1
1
0
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}a&-b\\b&\;\;a\end{pmatrix}}=a{\begin{pmatrix}1&\;\;0\\0&\;\;1\end{pmatrix}}+b{\begin{pmatrix}0&-1\\1&\;\;0\end{pmatrix}}}
即實數1對應著單位矩陣
(
1
0
0
1
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&\;\;0\\0&\;\;1\end{pmatrix}}}
,
而虛數單位
i
{\displaystyle i}
對應著
(
0
−
1
1
0
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}0&-1\\1&\;\;0\end{pmatrix}}}
。
此矩陣令平面作逆時鐘90度旋轉,它的平方就是-1。
複數的絶對值就是行列式 的平方根 。這些矩陣對應相應的平面變換,其旋轉角度等於複數的徧角,改變比例等於複數的絶對值。複數的軛就是矩陣的轉置 。
若矩陣中的
a
{\displaystyle a}
和
b
{\displaystyle b}
本來就是複數,則構成的代數便是四元數 。由此,矩陣代表法可看成代數的凱萊-迪克森結構法 。
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
可以視作二維實 綫性空間 。[ 5] 不同於實數體,複數體上不可能有與其算術相容的全序 :
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
並非有序體 。
滿足
p
(
z
)
=
0
{\displaystyle p(z)=0}
的複數z 是多項式
p
{\displaystyle p}
的「根」。代數基本定理 指出,所有
n
{\displaystyle n}
次多項式,不管實數係數抑或複數係數的,都剛好有
n
{\displaystyle n}
個複數根(
k
{\displaystyle k}
重根按
k
{\displaystyle k}
個計算)。這定理等價於複數體是代數閉體 。
事實上,複數體是實數體的代數閉包 。它是多項式 環
R
[
X
]
{\displaystyle \mathbb {R} [X]}
經由理想
⟨
X
2
+
1
⟩
{\displaystyle \left\langle X^{2}+1\right\rangle }
顯生出的商環 :
C
=
R
[
X
]
/
(
X
2
+
1
)
{\displaystyle \mathbb {C} =\mathbb {R} [X]/(X^{2}+1)}
。
這是一個體因為
X
2
+
1
{\displaystyle X^{2}+1}
為不可約多項式 ,而
X
{\displaystyle X}
在商環內對應著虛數單位
i
{\displaystyle i}
。
複數體
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
唯一(就體同構 來說)的體擁有三項代數特徵:
而然,
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
包含很多與
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
同構 的子體 。
在
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
上不可能建立與其加法及乘法相容之全序關係 ,即不存在一全序
⪯
{\displaystyle \preceq }
使得對於任意複數
z
1
,
z
2
{\displaystyle z_{1},z_{2}}
,有
0
⪯
z
1
,
z
2
⇒
0
⪯
z
1
+
z
2
,
0
⪯
z
1
z
2
{\displaystyle 0\preceq z_{1},z_{2}\Rightarrow 0\preceq z_{1}+z_{2},0\preceq z_{1}z_{2}}
。
計算一個實數的複數冪是可以的。
a
z
{\displaystyle a^{z}}
可以定義為
e
z
⋅
ln
(
a
)
{\displaystyle e^{z\cdot \ln(a)}}
。
研究複變函數的理論稱為複分析 。它在應用數學 和其他數學分支上都有許多實際應用。實分析 和數論 的結果,最自然的證明經常是以複分析的技巧完成(例子可見質數定理 )。
複變函數的圖像是四維的,所以不像實變函數般可以用平面圖像表示。要表示複變函數的圖像,可以用有顏色的三維圖像表達四維資訊,或者以動畫表示函數對複平面的動態變換。
在系統分析 中,系統常常通過拉普拉斯轉換 從時域 轉換到頻域 。因此可在複平面上分析系統的極點 和零點 。分析系統穩定性的根軌跡法 、奈奎斯特圖法 和尼科爾斯圖法 都是在複平面上進行的。
無論系統極點和零點在左半平面還是右半平面,根軌跡法都很重要。如果系統極點
位於右半平面,則因果系統 不穩定;
都位於左半平面,則因果系統穩定;
位於虛數軸上,則系統為臨界穩定 的。
如果穩定系統的全部零點都位於左半平面,則這是個最小相位系統 。如果系統的極點和零點關於虛數軸對稱,則這是全通系統 。
信號分析 和其他領域使用複數可以方便的表示週期信號。模值
|
z
|
{\displaystyle \left\vert z\right\vert }
表示信號的幅度 ,輻角
arg
z
{\displaystyle \arg z}
表示給定頻率 的正弦波 的相位 。
利用傅立葉轉換 可將實信號表示成一系列週期函數的和。這些週期函數通常用形式如下的複函數的實部表示:
f
(
t
)
=
z
e
i
ω
t
{\displaystyle f(t)=ze^{i\omega t}}
,
其中
ω
{\displaystyle \omega }
對應角頻率 ,複數
z
{\displaystyle z}
包含了幅度和相位的資訊。
電路 分析中,引入電容 、電感 與頻率有關的虛部可以方便的將電壓 、電流 的關係用簡單的線性方程式表示並求解。(有時用字母
j
{\displaystyle j}
作為虛數單位,以免與電流符號i 混淆。)
在應用層面,複分析常用以計算某些實值的反常積分 ,藉由複值函數得出。方法有多種,見圍道積分方法 。
量子力學 中複數是十分重要的,因其理論是建基於複數體上無限維的希爾伯特空間 。
如將時間變數視為虛數的話便可簡化一些狹義 和廣義相對論 中的時空 度量張量 (Metric Tensor)方程式。
實際應用中,求解給定差分方程式 模型的系統,通常首先找出線性差分方程式對應的特徵方程式 的所有複特徵根r ,再將系統以形爲f (t )= e rt 的基函數的線性組合 表示。
複函數於流體力學 中可描述二維 勢流 。
物理 和工程 領體中的交流 電路分析 ,使用到相量 作表達正弦信號 。
一些碎形 如曼德博集合 和茹利亞集 (Julia set)是建基於複平面上的點的。
複數的平方根是可以計算的。其公式為
x
+
i
y
=
|
x
+
i
y
|
+
x
2
±
i
|
x
+
i
y
|
−
x
2
{\displaystyle {\sqrt {x+iy}}={\sqrt {\frac {\left|x+iy\right|+x}{2}}}\pm i{\sqrt {\frac {\left|x+iy\right|-x}{2}}}}
。
^ Nahin, Paul J. An Imaginary Tale: The Story of √-1 . Princeton University Press . 2007 [20 April 2011] . ISBN 978-0-691-12798-9 . (原始內容存檔 於12 October 2012).
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An Imaginary Tale: The Story of
−
1
{\displaystyle {\sqrt {-1}}}
, by Paul J. Nahin; Princeton University Press; ISBN 0-691-02795-1 (hardcover, 1998). A gentle introduction to the history of complex numbers and the beginnings of complex analysis.
Numbers , by H.-D. Ebbinghaus, H. Hermes, F. Hirzebruch, M. Koecher, K. Mainzer, J. Neukirch, A. Prestel, R. Remmert; Springer; ISBN 0-387-97497-0 (hardcover, 1991). An advanced perspective on the historical development of the concept of number.
The Road to Reality: A Complete Guide to the Laws of the Universe , by Roger Penrose ; Alfred A. Knopf, 2005; ISBN 0-679-45443-8 . Chapters 4-7 in particular deal extensively (and enthusiastically) with complex numbers.
Unknown Quantity: A Real and Imaginary History of Algebra , by John Derbyshire; Joseph Henry Press; ISBN 0-309-09657-X (hardcover 2006). A very readable history with emphasis on solving polynomial equations and the structures of modern algebra.
Visual Complex Analysis , by Tristan Needham ; Clarendon Press; ISBN 0-19-853447-7 (hardcover, 1997). History of complex numbers and complex analysis with compelling and useful visual interpretations.
可數集
自然數 (
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
)
整數 (
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
)
有理數 (
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
)
規矩數
代數數 (
A
{\displaystyle \mathbb {A} }
)
週期
可計算數
可定義數
高斯整數 (
Z
[
i
]
{\displaystyle \mathbb {Z} [i]}
)
艾森斯坦整數
合成代數
可除代數 :實數 (
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
)
複數 (
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
)
四元數 (
H
{\displaystyle \mathbb {H} }
)
八元數 (
O
{\displaystyle \mathbb {O} }
)
凱萊-迪克森結構
實數 (
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
)
複數 (
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
)
四元數 (
H
{\displaystyle \mathbb {H} }
)
八元數 (
O
{\displaystyle \mathbb {O} }
)
十六元數 (
S
{\displaystyle \mathbb {S} }
)
三十二元數
六十四元數
一百二十八元數
二百五十六元數……
分裂 形式 其他超複數 其他系統