尺規作圖
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尺規作圖（英語：Compass-and-straightedge 或 ruler-and-compass construction）是起源於古希臘的數學課題。只使用圓規和直尺，並且只准許使用有限次，來解決不同的平面幾何作圖題。
值得注意的是，以上的「直尺」和「圓規」是抽象意義的，跟現實中的並非完全相同，具體而言，有以下的限制：
尺規作圖的研究，促成數學上多個領域的發展。有些數學結果就是為解決古希臘三大名題而得出的副產品，對尺規作圖的探索推動了對圓錐曲線的研究，並發現了一批著名的曲線。
若干著名的尺規作圖已知是不可能的，而當中很多不可能的例子是利用了19世紀出現的伽羅瓦理論以證明。儘管如此，仍有很多業餘者嘗試這些不可能的題目，當中以化圓為方及三等分任意角（Angle trisection）最受注意。
原理
[編輯]作圖公法
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以下是尺規作圖中可用的基本方法，也稱為作圖公法，任何尺規作圖的步驟均可分解為以下五種方法：
- 通過兩個已知點可作一直線。
- 已知圓心和半徑可作一個圓。
- 若兩已知直線相交，可得其交點。
- 若已知直線和一已知圓相交，可得其交點。
- 若兩已知圓相交，可得其交點。
問題
[編輯]古希臘三大難題
[編輯]古希臘三大難題是早期希臘數學家特別感興趣的三個問題。由於我們的現代幾何學知識是從希臘發源的，因此這三個古典幾何問題在幾何學中有着很高的地位。它們分別是：
- 化圓為方問題
- 求一個正方形的邊長，使其面積與一已知圓的相等。
- 三等分角問題
- 求一角，使其角度是一已知角度的三分之一（可以用只有一點刻度的直尺與圓規作出）
- 倍立方問題。
- 求一立方體的棱長，使其體積是一已知立方體的二倍（可以用木工的角尺作出）。
在歐幾里得幾何學的限制下，以上三個問題都不可能解決。
- 只使用直尺和圓規，作正五邊形。
- 只使用直尺和圓規，作正六邊形。
- 只使用直尺和圓規，作正七邊形——這個看上去非常簡單的題目，曾經使許多著名數學家都束手無策，而現在正七邊形已被證明是不能由尺規作出的。
- 只使用直尺和圓規，作正九邊形，此圖也不能作出來，因為單用直尺和圓規，是不足以把一個角分成三等份的。
- 問題的解決：高斯大學二年級時得出正十七邊形的尺規作圖法，並給出了可用尺規作圖的正多邊形的充分條件：尺規作圖正多邊形的邊數目必須是2的非負整數次方乘以任意個（可為0個）不同的費馬素數的積，解決了兩千年來懸而未決的難題。
- 1832年，Richelot與Schwendewein給出正257邊形的尺規作法。
- 1900年左右，約翰·古斯塔夫·愛馬仕花費十年的功夫用尺規作圖作出正65537邊形，他的手稿裝滿一大皮箱，可以說是最複雜的尺規作圖。
這道題只准許使用圓規，要求參與者將一個已知圓心的圓周4等分。這道題傳言是拿破崙·波拿巴擬出，向全法國數學家挑戰的。這道題已被證明有解。
延伸
[編輯]圓規作圖
[編輯]直尺作圖
[編輯]- 只用直尺所能作的圖其實不多，但在已知一個圓和其圓心的情況下，那麼凡是尺規能作的，單用直尺也能作出。
- 生鏽圓規作圖，已知兩點、，找出一點使得。
- 已知兩點、，只用半徑固定的圓規，求作使是線段的中點。
- 尺規作圖，是古希臘人按「盡可能簡單」這個思想出發的，能更簡潔的表達嗎？順着這思路就有了更簡潔的表達。
- 10世紀時，有數學家提出用直尺和半徑固定的圓規作圖。
- 從給定的兩點出發時，生鏽圓規作圖完全等價於尺規作圖。
- 但是，「從給定的兩點出發」這一條件必不可少，在有多個已知點的條件下，鏽規作圖的能力還有待研究。
允許使用長度等於1的線段
[編輯]- 已知兩條線段AB、AC，可以作出一條線段的長度等於兩條線段長度之乘積AB×AC。
外部連結
[編輯]尺規作圖的程式
[編輯]- C.a.R. （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） -Java程式
- GRACE （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） -在線Java程式
- Geometric Drawing Pad-在線Java程式
- Ruler & compass （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） -在線程式
