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角 ”标题相近或相同的条目页，请见“
角 (消歧义) ”。
Unicode 中的角符号，码位为U+2220 在几何学 中，角 （ jiǎo ） angle ）或精确用语平面角 ，是由两条有公共端点的射线 组成的几何对象。这两条射线叫做角的边 ，它们的公共端点叫做角的顶点 。一般的角会假设在欧几里得平面 上，但在非欧几里得几何 中也可以定义角，特别是在球面几何学 中的球面角 大圆 的圆弧代替射线。角在几何学 和三角学 中有着广泛的应用。
几何之父欧几里得 曾定义角为在平面 中两条不平行 的直线 的相对斜度。普罗克鲁斯 认为角可能是一种特质、一种可量化的量、或是一种关系。欧德谟 直线 的偏差，安提阿的卡布斯 [ 1]
平面角大小的计量单位制 常用的有360度制 、弧度制 等[ 2] [ 3]
角通常用三个字母表示：两条边上的点的字母写在两旁，顶点上的字母写在中间。图中的角用∠AOB或
A
O
B
^
{\displaystyle {\widehat {AOB}}}
在数学式中，一般会用希腊字母 （
α
,
β
,
γ
,
θ
,
φ
,
.
.
.
{\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\theta ,\varphi ,...}
π 一般不用来表示角度。
以角的端点为圆心 做圆弧 。由于圆弧的半径 和弧长成正比 ，而角是长度的比例 ，所以圆的大小不会影响角的测量。
角度 角度 在天文学 和全球定位系统 中有重要应用。弧度 圆弧 的长度除以圆的半径，单位是rad（中文名：弪）。弧度在数学 中有广泛的应用。弧度 还是国际单位制 中规定的角的标准度量，但却不是中国法定计量单位，角度 则是角在中国的法定计量单位。采用弧度时，通常不会标示单位，例如：
sin
π
=
sin
180
∘
=
0
{\displaystyle \sin \pi =\sin 180^{\circ }=0}
百分度 角度的量测可以视为弧长s 和半径r 的比例，再依选用单位乘以一比例系数
2
π
n
{\displaystyle {\frac {2\pi }{n}}}
θ
=
n
2
π
s
r
{\displaystyle \theta ={\frac {n}{2\pi }}{\frac {s}{r}}}
例如以上的弧度、角度和百分度，其转换系数
n
{\displaystyle n}
2
π
{\displaystyle 2\pi }
以下是一些其他的测量单位，对应不同的
n
{\displaystyle n}
圈数或转数 （
n
=
1
{\displaystyle n=1}
cyc 、rev 或rot ，不过在每分钟转速 （RPM）的单位中，只用一个字母r表示。
直角 （
n
=
4
{\displaystyle n=4}
1
4
{\displaystyle {\frac {1}{4}}}
几何原本 中用的角度单位，直角
=
90
∘
=
π
2
r
a
d
=
1
4
t
u
r
n
=
100
g
r
a
d
{\displaystyle =90^{\circ }={\frac {\pi }{2}}\mathrm {rad} ={\frac {1}{4}}\mathrm {turn} =100\mathrm {grad} }
⌞
{\displaystyle \llcorner }
时角 （
n
=
24
{\displaystyle n=24}
天文学 中，是
1
24
{\displaystyle {\frac {1}{24}}}
角分 及角秒 不同，前者大小为后者的十五倍。1时角
=
15
∘
=
π
12
r
a
d
=
1
6
q
u
a
d
=
1
24
t
u
r
n
≈
16.667
g
r
a
d
{\displaystyle =15^{\circ }={\frac {\pi }{12}}\mathrm {rad} ={\frac {1}{6}}\mathrm {quad} ={\frac {1}{24}}\mathrm {turn} \approx 16.667\mathrm {grad} }
密位 （
n
=
6000
∼
6400
{\displaystyle n=6000\sim 6400}
弧度 的角度，有许多不同的定义，其数值从0.05625度到0.06度（3.375至3.6角分），而毫弧度约为0.05729578度（3.43775角分）。在北大西洋公约组织 的国家中，密位定义为圆的
1
6400
{\displaystyle {\frac {1}{6400}}}
2
π
6400
=
0.0009817...
≑
1
1000
{\displaystyle {\frac {2\pi }{6400}}=0.0009817...\doteqdot {\frac {1}{1000}}}
角分 （
n
=
21600
{\displaystyle n=21600}
1
60
{\displaystyle {\frac {1}{60}}}
1
21600
{\displaystyle {\frac {1}{21600}}}
3
+
30
60
{\displaystyle 3+{\frac {30}{60}}}
3
∘
5.72
′
=
3
+
5.72
60
{\displaystyle 3^{\circ }5.72'=3+{\frac {5.72}{60}}}
海里 曾定义为在地球的大圆 上一角分的弧长。角秒 （
n
=
1296000
{\displaystyle n=1296000}
1
60
{\displaystyle {\frac {1}{60}}}
3
+
7
60
+
30
3600
{\displaystyle 3+{\frac {7}{60}}+{\frac {30}{3600}}}
以上角的定义均未考虑数值为负的角。不过在一些应用时，会将角的数值加上正负号，以标明是相对参考物不同方向的旋转。
在二维的笛卡儿坐标系 中，角一般是以x轴的正向为基准，若往y轴的正向旋转，则其角为正角，若往y轴的负向旋转，则其角为负角。若二维的笛卡儿坐标系也是x轴朝右，y轴朝上，则逆时针的旋转对应正角，顺时针 的旋转对应负角。
一般而言，
−
θ
{\displaystyle -\theta }
θ
{\displaystyle \theta }
−
45
∘
{\displaystyle -45^{\circ }}
360
∘
−
45
∘
(
=
315
∘
)
{\displaystyle 360^{\circ }-45^{\circ }(=315^{\circ })}
−
45
∘
{\displaystyle -45^{\circ }}
在三维的几何中，顺时针及逆时针没有绝对的定义，因此定义正角及负角时均需列出其参考的基准，一般会以一个通过角的顶点，和角所在平面垂直的向量 为基准。
在导航 时，导向 是以北方为基准，正向表示顺时针，因此导向45°对应东北方。导向没有负值，西北方对应的导向为315°。
除了量测角本身的大小外．也有其他的方式，可以量测角的大小。
坡度 等于一个角的正切值，常用百分比或千分比来表示。当一个角的坡度小于5%时，其坡度近似于角以弧度表示的数值。
在有理几何学
零角
角度等于0°，或弧度为0的角。
锐角
角度大于0°且小于90°，或弧度大于0且小于
π
2
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}
直角
角度等于90°，或弧度为
π
2
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}
钝角
角度大于90°且小于180°，或弧度大于
π
2
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}
π
{\displaystyle \pi }
平角
角度等于180°，或弧度为
π
{\displaystyle \pi }
优角或反角
角度大于180°且小于360°，或弧度大于
π
{\displaystyle \pi }
2
π
{\displaystyle 2\pi }
周角
角度等于360°，或弧度为
2
π
{\displaystyle 2\pi }
直角
优角（或作反角）
周角
锐角（a ）、钝角（b ）和平角（c ）
以下是各角度的名称及不同单位下的数值：
名称
零角
锐角
直角
钝角
平角
优角
周角
单位
范围
转
0
{\displaystyle 0}
(
0
,
1
4
)
{\displaystyle (0,{\tfrac {1}{4}})}
1
4
{\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}
(
1
4
,
1
2
)
{\displaystyle ({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{2}})}
1
2
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}
(
1
2
,
1
)
{\displaystyle ({\tfrac {1}{2}},1)}
1
{\displaystyle 1}
弧度
0
π
{\displaystyle 0\pi \,}
(
0
,
1
2
π
)
{\displaystyle (0,{\tfrac {1}{2}}\pi )}
1
2
π
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\pi }
(
1
2
π
,
π
)
{\displaystyle ({\tfrac {1}{2}}\pi ,\pi )}
π
{\displaystyle \pi }
(
π
,
2
π
)
{\displaystyle (\pi ,2\pi )}
2
π
{\displaystyle 2\pi \,}
度
0
∘
{\displaystyle 0^{\circ }}
(
0
∘
,
90
∘
)
{\displaystyle (0^{\circ },90^{\circ })}
90
∘
{\displaystyle 90^{\circ }}
(
90
∘
,
180
∘
)
{\displaystyle (90^{\circ },180^{\circ })}
180
∘
{\displaystyle 180^{\circ }}
(
180
∘
,
360
∘
)
{\displaystyle (180^{\circ },360^{\circ })}
360
∘
{\displaystyle 360^{\circ }}
令x为该角度数。
有三种特殊角的组合，其度数和均为特殊的值：
馀角 ：当两个角的度数之和等于90°，即一个直角 ，这两个角便是馀角。若两个相邻的角互为馀角，两个非共用边会形成直角。在欧几里得几何 中，非直角的两角即互为馀角。若角A 和B 互为馀角，以下的数学式会成立：
sin
2
A
+
sin
2
B
=
1
cos
2
A
+
cos
2
B
=
1
tan
A
=
cot
B
sec
A
=
csc
B
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\sin ^{2}A+\sin ^{2}B&=1\\\cos ^{2}A+\cos ^{2}B&=1\\\tan A&=\cot B\\\sec A&=\csc B\end{aligned}}.}
（一角的正切 等于其馀角的馀切 ，一角的正割 等于其馀角的馀割 ）
三角函数中的馀函数 ，其前缀“co-”就是馀角的意思。 补角 ：当两个角的度数之和等于180°，即一个平角 ，这两个角便是互补角。若两个相邻的角互为馀角，两个非共用边会形成一直线。不过两个不相邻的角也可以是补角，例如平行四边形中，任两邻角为互补角。圆内接四边形 的对角也是互补角。若点P为圆O外的一点，而过点P作圆的切线，切点分别在点T和点Q，则∠TPQ和∠TOQ为互补角。
两互补角的正弦相等，其馀弦及正切（若有定义义）大小相等，但符号异号。
在欧几里得几何中，三角形两角的和为第三角的补角。 explementary angles or conjugate angles. 当两个角的度数之和等于360°
互为馀角的角a 和角b 图中的锐角和钝角形成一组互补角
同顶角
a
+
b
+
c
=
360
∘
{\displaystyle a+b+c=360^{\circ }}
直线上的邻角
a
+
b
+
c
=
180
∘
{\displaystyle a+b+c=180^{\circ }}
与平行线有关的定理 当
A
E
{\displaystyle AE}
B
D
{\displaystyle BD}
a
=
c
{\displaystyle a=c}
同位角 ，
A
E
/
/
B
D
{\displaystyle AE//BD}
b
=
d
{\displaystyle b=d}
内错角 ，
A
E
/
/
B
D
{\displaystyle AE//BD}
b
+
c
=
180
∘
{\displaystyle b+c=180^{\circ }}
同旁内角 ，
A
E
/
/
B
D
{\displaystyle AE//BD}
由角度的关系也可以推得两直线平行
当
a
=
c
{\displaystyle a=c}
A
E
{\displaystyle AE}
B
D
{\displaystyle BD}
当
b
=
d
{\displaystyle b=d}
A
E
{\displaystyle AE}
B
D
{\displaystyle BD}
当
b
+
c
=
180
∘
{\displaystyle b+c=180^{\circ }}
A
E
{\displaystyle AE}
B
D
{\displaystyle BD}
二曲线在P点的夹角定义为二曲线在P点切线A 和B 的夹角 曲线和直线的夹角或是二曲线间的夹角定义为二曲线在交点处切线 的夹角。
在欧几里得空间 中，二个向量 u 及v 的角和其点积 及向量的长度有关：
u
⋅
v
=
cos
(
θ
)
‖
u
‖
‖
v
‖
.
{\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =\cos(\theta )\ \|\mathbf {u} \|\ \|\mathbf {v} \|.}
依上式可以用二个平面（或曲面）的法向量 ，计算二者之间的夹角，也可以根据二歪斜线 的向量计算其夹角。
在一个抽象的实数内积空间 中，在定义角时可以用内积
⟨
⋅
,
⋅
⟩
{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }
· )：
⟨
u
,
v
⟩
=
cos
(
θ
)
‖
u
‖
‖
v
‖
.
{\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =\cos(\theta )\ \|\mathbf {u} \|\ \|\mathbf {v} \|.}
在复数的内积空间中，为了使馀弦的数值仍维持实数，因此需修改为
Re
(
⟨
u
,
v
⟩
)
=
cos
(
θ
)
‖
u
‖
‖
v
‖
.
{\displaystyle \operatorname {Re} (\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle )=\cos(\theta )\ \|\mathbf {u} \|\ \|\mathbf {v} \|.}
或者使用绝对值的标示：
|
⟨
u
,
v
⟩
|
=
cos
(
θ
)
‖
u
‖
‖
v
‖
.
{\displaystyle |\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |=\cos(\theta )\ \|\mathbf {u} \|\ \|\mathbf {v} \|.}
后者不考虑向量的方向，因此是描述由向量
u
{\displaystyle \mathbf {u} }
v
{\displaystyle \mathbf {v} }
子空间
span
(
u
)
{\displaystyle \operatorname {span} (\mathbf {u} )}
span
(
v
)
{\displaystyle \operatorname {span} (\mathbf {v} )}
在黎曼几何 中，利用度量张量 来定义二条切线 之间的夹角，其中U 及V 是切线向量，g ij G 的分量。
cos
θ
=
g
i
j
U
i
V
j
|
g
i
j
U
i
U
j
|
|
g
i
j
V
i
V
j
|
.
{\displaystyle \cos \theta ={\frac {g_{ij}U^{i}V^{j}}{\sqrt {\left|g_{ij}U^{i}U^{j}\right|\left|g_{ij}V^{i}V^{j}\right|}}}.}
以地理 的观点，地球上任何一个位置都可以用地理座标系统 来表示，此系统标示位置的经度 及纬度 ，两者都以此点连至地球球心连线的角度来表示，经度是以格林威治子午线 为参考基准，而纬度是以赤道 为参考基准。
在天文学 中，天球 的一点可以用任何一种天球坐标系统 来表示，不过其基准则因坐标系统不同而不同。天文学量测二颗星星的角距离 时，会假想分别有二颗星星分别和地球 连成的直线，再量测这二条直线的夹角，即为角距离。
天文学家也会用角直径 量测一物体的表观大小。例如满月 的角直径约为0.5°。小角公式 可以将上述的角测量转换为距离和大小的比值。
线性（平动）的量
角度（转动）的量
量纲
—
L
L2
量纲
—
—
—
T
时间 : t s 位移积分 : A m s T
时间 : t s
—
距离 : d 位矢 : r s x 位移 m 面积 : A m2 —
角度 : θ 角移 : θ rad 立体角 : Ω rad2 , sr
T−1
频率 : f s−1 Hz 速率 : v 速度 : v m s−1 面积速率 : ν m2 s−1 T−1
频率 : f s−1 Hz 角速率 : ω 角速度 : ω rad s−1
T−2
加速度 : a m s−2 T−2
角加速度 : α s−2
T−3
加加速度 : j −3 T−3
角加加速度 : ζ s−3
M
质量 : m kg ML2
转动惯量 : I m2
MT−1
动量 : p 冲量 : J m s−1 , N s 作用量 : 𝒮 actergy : ℵ m2 s−1 , J s ML2 T−1
角动量 : L 角冲量 : ι m2 s−1 作用量 : 𝒮 actergy : ℵ m2 s−1 , J s
MT−2
力 : F 重量 : F g kg m s−2 , N 能量 : E 功 : W kg m2 s−2 , J ML2 T−2
力矩 : τ moment M kg m2 s−2 , N m 能量 : E 功 : W kg m2 s−2 , J
MT−3
加力 : Y kg m s−3 , N s−1 功率 : P kg m2 s−3 , W ML2 T−3
rotatum P kg m2 s−3 , N m s−1 功率 : P kg m2 s−3 , W
直角
优角（或作反角）
周角
锐角（a）、钝角（b）和平角（c）
