拉格朗日定理 (群論)：修订间差异

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2024年5月18日 (六) 05:48的版本

拉格朗日定理是群論中一個重要的結果，描述了一個群和它的子群的元素個數之間的關係。這個定理對有限群的結構給出了很多線索。

定理陳述

拉格朗日定理 ^{[參 1]} — 如果 $H$ 是群 $G$ 的子群^{[註 1]}，那麼

|G|=|H|[G:H]

而如果

G

是有限群，那麼

|H|

是

|G|

的因數。

證明思路

定理的證明利用了陪集的以下性質：

一個子群的每一個陪集在集合意義下有相同的大小^{[註 2]}（ Cardinality ）。^{[參 2]}
一個子群的所有陪集分割^{[註 3]}了整個群。^{[參 3]}
根據集合的特性， $G$ 的大小可以寫成是陪集的大小（ $|H|$ ）乘上^{[註 4]}陪集的數量（ $[G:H]$ ）

推論

由拉格朗日定理可立即得到——有限群 $G$ 中每個元素的階（ Order ）都會整除群 $G$ 的階（考慮由這個元素生成的循環群）。
如果 $|G|$ 是質數，那麽 $G$ 的同構於質數階循環群 $C_{|G|}$ （因為質數沒有 $1$ 和自身以外的因數）。
費馬小定理是拉格朗日定理的一個簡單推論。

逆命題

拉格朗日定理的逆命題並一般來說不成立。 $|G|$ 的因可能不是任何子群的階。例如交錯群 $A_{4}$ 的階是 $12$ ，但它沒有任何子群階是 $6$ 。然而柯西定理以及它的推廣——西羅定理——則表明：具有特定形式的因數確實是某個子群的階。

參見

註解

^ 沒有假設是有限群
^ 或稱——勢
^ 意思是每個群元素都位在剛好一個陪集之中
^ cardinality 意義下的乘法。在有限的情況下就和是普通意義的整數乘法

引用

^ Hungerford Algebra p.39 Corollary 4.6
^ Hungerford Algebra p.38 Theorem 4.2
^ Hungerford Algebra p.38 Corollary 4.3

參考文獻

Thomas W. Hungerford. Algebra 第三版. Springer. 1974. ISBN 978-1-4612-6101-8 （英语）.

[1] 沒有假設是有限群

[3] 或稱——勢

[5] 意思是每個群元素都位在剛好一個陪集之中

[7] rdinality 意義下的乘法。在有限的情況下就和是普通意義的整數乘法

[2] Hungerford Algebra p.39 Corollary 4.6

[4] Hungerford Algebra p.38 Theorem 4.2

[6] Hungerford Algebra p.38 Corollary 4.3

[參 1]

[註 1]

[註 2]

[參 2]

[註 3]

[參 3]

[註 4]

@@ 第3行： / 第3行： @@
 {{條目消歧義|拉格朗日定理}}
-'''拉格朗日定理'''是[[群論]]中的一個定理，說明了一個群和它的子群的元素個數之間的關係。這個定理在很大程度上對描述了有限[[群]]的結構。
+'''拉格朗日定理'''是[[群論]]中一個重要的結果，描述了一個群和它的子群的元素個數之間的關係。這個定理對有限[[群]]的結構給出了很多線索。
 ==定理陳述==
 {{Math theorem
-| name = 拉格朗日定理 {{NoteTag|Hungerford Algebra p.39 Corollary 4.6}}
+| name = 拉格朗日定理 {{RefTag|Hungerford Algebra p.39 Corollary 4.6}}
 | math_statement =
-如果 <math>H</math> 是群 <math>G</math> 的子群{{NoteTag|沒有假設是有限群}}，那麼 <math display="block">|G| = [G:H]|H|</math>
+如果 <math>H</math> 是群 <math>G</math> 的子群{{NoteTag|沒有假設是有限群}}，那麼 <math display="block">|G| = |H|[G:H]</math>
 而如果 <math>G</math> 是有限群，那麼 <math>|H|</math> 是 <math>|G|</math> 的因數。
 }}
+{{Math proof
-定理的證明利用了左[[陪集]]的性質，令H是群G的子群。可知H在G中的每個左陪集都是一個[[等價類]]（證明見下）。將G作左陪集分解，由於每個等價類的元素個數都相等，都等於H的元素個數（H是H關於e的左陪集），因此H的階（元素個數）整除G的階，商是H在G中的左陪集個數，叫做H對G的指數，記作[G:H]。
+| title = 證明思路
+| proof =
+定理的證明利用了[[陪集]]的以下性質：
+# 一個子群的每一個陪集在集合意義下有相同的大小{{NoteTag|或稱——勢}}（ Cardinality ）。{{RefTag|Hungerford Algebra p.38 Theorem 4.2}}
+# 一個子群的所有陪集分割{{NoteTag|意思是每個群元素都位在剛好一個陪集之中}}了整個群。{{RefTag|Hungerford Algebra p.38 Corollary 4.3}}
+# 根據集合的特性， <math>G</math> 的大小可以寫成是陪集的大小（ <math>|H|</math> ）乘上{{NoteTag|cardinality 意義下的乘法。在有限的情況下就和是普通意義的整數乘法}}陪集的數量（ <math>[G:H]</math> ）
+}}
+<!--
 ===陪集的等價關系===
@@ 第31行： / 第40行： @@
 上述寫法在G為無限群時也成立。
+-->
-===推論===
+==推論==
-. 由拉格朗日定理可立即得到：由有限群G中一個元素a的階數整除群G的階（考慮由a生成的循環群）。
-. 如果<math>n</math>是質數，那麽所有階數為<math>n</math>的群都同構（因為素數只有1和它本身為約數）。
+# 由拉格朗日定理可立即得到——有限群 <math>G</math> 中每個元素的階（ Order ）都會整除群 <math>G</math> 的階（考慮由這個元素生成的循環群）。
+# 如果 <math>|G|</math> 是質數，那麽 <math>G</math> 的同構於質數階循環群 <math>C_{|G|}</math> （因為質數沒有 <math>1</math> 和自身以外的因數）。
+# [[費馬小定理]]是拉格朗日定理的一個簡單推論。
+==逆命題==
-. [[費馬小定理]]是拉格朗日定理的一個簡單推論。
+拉格朗日定理的逆命題並一般來說不成立。 <math>|G|</math> 的因可能不是任何子群的階。例如交錯群 <math>A_{4}</math> 的階是 <math>12</math> ，但它沒有任何子群階是 <math>6</math> 。然而[[柯西定理 (群論)|柯西定理]]以及它的推廣——[[西羅定理]]——則表明：具有特定形式的因數確實是某個子群的階。
-===逆命題===
-拉格朗日定理的逆命題並一般來說不成立。 <math>|G|</math> 的因可能不是任何子群的階。例如交錯群 <math>A_{4}</math> 的階是 <math>12</math> ，但它沒有任何子群階是 <math>6</math> 。然而[[柯西定理 (群論)|柯西定理]]以及它的推廣——[[西洛定理]]——則表明：具有特定形式的因數確實是某個子群的階。
 == 參見 ==
 * [[群]]
+* [[陪集]]
 * [[正規子群]]
-* [[西洛定理]]
+* [[西羅定理]]
 == 註解 ==
 {{NoteFoot}}
+== 引用 ==
+{{RefFoot}}
+== 參考文獻 ==
+* {{cite book|author=Thomas W. Hungerford|title=''Algebra''|publisher=Springer|year=1974|isbn=978-1-4612-6101-8|edition=第三版|language=en}}
 {{約瑟夫·拉格朗日}}