此條目頁的主題是數學名詞角。關於與「
角 」標題相近或相同的條目頁，請見「
角 (消歧義) 」。
Unicode 中的角符號，碼位為U+2220 在幾何學 中，角 （ ㄐㄧㄠˇ ） angle ）或精確用語平面角 ，是由兩條有公共端點的射線 組成的幾何物件。這兩條射線叫做角的邊 ，它們的公共端點叫做角的頂點 。一般的角會假設在歐幾里得平面 上，但在非歐幾里得幾何 中也可以定義角，特別是在球面幾何學 中的球面角 大圓 的圓弧代替射線。角在幾何學 和三角學 中有著廣泛的應用。
幾何之父歐幾里得 曾定義角為在平面 中兩條不平行 的直線 的相對斜度。普羅克魯斯 認為角可能是一種特質、一種可量化的量、或是一種關係。歐德謨 直線 的偏差，安提阿的卡布斯 [ 1]
平面角大小的計量單位制 常用的有360度制 、弧度制 等[ 2] [ 3]
角通常用三個字母表示：兩條邊上的點的字母寫在兩旁，頂點上的字母寫在中間。圖中的角用∠AOB或
A
O
B
^
{\displaystyle {\widehat {AOB}}}
在數學式中，一般會用希臘字母 （
α
,
β
,
γ
,
θ
,
φ
,
.
.
.
{\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\theta ,\varphi ,...}
π 一般不用來表示角度。
以角的端點為圓心 做圓弧 。由於圓弧的半徑 和弧長成正比 ，而角是長度的比例 ，所以圓的大小不會影響角的測量。
角度 角度 在天文學 和全球定位系統 中有重要應用。弧度 圓弧 的長度除以圓的半徑，單位是rad（中文名：弳）。弧度在數學 中有廣泛的應用。弧度 還是國際單位制 中規定的角的標準度量，但卻不是中國法定計量單位，角度 則是角在中國的法定計量單位。採用弧度時，通常不會標示單位，例如：
sin
π
=
sin
180
∘
=
0
{\displaystyle \sin \pi =\sin 180^{\circ }=0}
百分度 角度的量測可以視為弧長s 和半徑r 的比例，再依選用單位乘以一比例係數
2
π
n
{\displaystyle {\frac {2\pi }{n}}}
θ
=
n
2
π
s
r
{\displaystyle \theta ={\frac {n}{2\pi }}{\frac {s}{r}}}
例如以上的弧度、角度和百分度，其轉換係數
n
{\displaystyle n}
2
π
{\displaystyle 2\pi }
以下是一些其他的測量單位，對應不同的
n
{\displaystyle n}
圈數或轉數 （
n
=
1
{\displaystyle n=1}
cyc 、rev 或rot ，不過在每分鐘轉速 （RPM）的單位中，只用一個字母r表示。
直角 （
n
=
4
{\displaystyle n=4}
1
4
{\displaystyle {\frac {1}{4}}}
幾何原本 中用的角度單位，直角
=
90
∘
=
π
2
r
a
d
=
1
4
t
u
r
n
=
100
g
r
a
d
{\displaystyle =90^{\circ }={\frac {\pi }{2}}\mathrm {rad} ={\frac {1}{4}}\mathrm {turn} =100\mathrm {grad} }
⌞
{\displaystyle \llcorner }
時角 （
n
=
24
{\displaystyle n=24}
天文學 中，是
1
24
{\displaystyle {\frac {1}{24}}}
角分 及角秒 不同，前者大小為後者的十五倍。1時角
=
15
∘
=
π
12
r
a
d
=
1
6
q
u
a
d
=
1
24
t
u
r
n
≈
16.667
g
r
a
d
{\displaystyle =15^{\circ }={\frac {\pi }{12}}\mathrm {rad} ={\frac {1}{6}}\mathrm {quad} ={\frac {1}{24}}\mathrm {turn} \approx 16.667\mathrm {grad} }
密位 （
n
=
6000
∼
6400
{\displaystyle n=6000\sim 6400}
弧度 的角度，有許多不同的定義，其數值從0.05625度到0.06度（3.375至3.6角分），而毫弧度約為0.05729578度（3.43775角分）。在北大西洋公約組織 的國家中，密位定義為圓的
1
6400
{\displaystyle {\frac {1}{6400}}}
2
π
6400
=
0.0009817...
≑
1
1000
{\displaystyle {\frac {2\pi }{6400}}=0.0009817...\doteqdot {\frac {1}{1000}}}
角分 （
n
=
21600
{\displaystyle n=21600}
1
60
{\displaystyle {\frac {1}{60}}}
1
21600
{\displaystyle {\frac {1}{21600}}}
3
+
30
60
{\displaystyle 3+{\frac {30}{60}}}
3
∘
5.72
′
=
3
+
5.72
60
{\displaystyle 3^{\circ }5.72'=3+{\frac {5.72}{60}}}
海里 曾定義為在地球的大圓 上一角分的弧長。角秒 （
n
=
1296000
{\displaystyle n=1296000}
1
60
{\displaystyle {\frac {1}{60}}}
3
+
7
60
+
30
3600
{\displaystyle 3+{\frac {7}{60}}+{\frac {30}{3600}}}
以上角的定義均未考慮數值為負的角。不過在一些應用時，會將角的數值加上正負號，以標明是相對參考物不同方向的旋轉。
在二維的笛卡兒坐標系 中，角一般是以x軸的正向為基準，若往y軸的正向旋轉，則其角為正角，若往y軸的負向旋轉，則其角為負角。若二維的笛卡兒坐標系也是x軸朝右，y軸朝上，則逆時針的旋轉對應正角，順時針 的旋轉對應負角。
一般而言，
−
θ
{\displaystyle -\theta }
θ
{\displaystyle \theta }
−
45
∘
{\displaystyle -45^{\circ }}
360
∘
−
45
∘
(
=
315
∘
)
{\displaystyle 360^{\circ }-45^{\circ }(=315^{\circ })}
−
45
∘
{\displaystyle -45^{\circ }}
在三維的幾何中，順時針及逆時針沒有絕對的定義，因此定義正角及負角時均需列出其參考的基準，一般會以一個通過角的頂點，和角所在平面垂直的向量 為基準。
在導航 時，導向 是以北方為基準，正向表示順時針，因此導向45°對應東北方。導向沒有負值，西北方對應的導向為315°。
除了量測角本身的大小外．也有其他的方式，可以量測角的大小。
坡度 等於一個角的正切值，常用百分比或千分比來表示。當一個角的坡度小於5%時，其坡度近似於角以弧度表示的數值。
在有理幾何學
零角
角度等於0°，或弧度為0的角。
銳角
角度大於0°且小於90°，或弧度大於0且小於
π
2
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}
直角
角度等於90°，或弧度為
π
2
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}
鈍角
角度大於90°且小於180°，或弧度大於
π
2
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}
π
{\displaystyle \pi }
平角
角度等於180°，或弧度為
π
{\displaystyle \pi }
優角或反角
角度大於180°且小於360°，或弧度大於
π
{\displaystyle \pi }
2
π
{\displaystyle 2\pi }
周角
角度等於360°，或弧度為
2
π
{\displaystyle 2\pi }
直角
優角（或作反角）
周角
銳角（a ）、鈍角（b ）和平角（c ）
以下是各角度的名稱及不同單位下的數值：
名稱
零角
銳角
直角
鈍角
平角
優角
周角
單位
範圍
轉
0
{\displaystyle 0}
(
0
,
1
4
)
{\displaystyle (0,{\tfrac {1}{4}})}
1
4
{\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}
(
1
4
,
1
2
)
{\displaystyle ({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{2}})}
1
2
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}
(
1
2
,
1
)
{\displaystyle ({\tfrac {1}{2}},1)}
1
{\displaystyle 1}
弧度
0
π
{\displaystyle 0\pi \,}
(
0
,
1
2
π
)
{\displaystyle (0,{\tfrac {1}{2}}\pi )}
1
2
π
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\pi }
(
1
2
π
,
π
)
{\displaystyle ({\tfrac {1}{2}}\pi ,\pi )}
π
{\displaystyle \pi }
(
π
,
2
π
)
{\displaystyle (\pi ,2\pi )}
2
π
{\displaystyle 2\pi \,}
度
0
∘
{\displaystyle 0^{\circ }}
(
0
∘
,
90
∘
)
{\displaystyle (0^{\circ },90^{\circ })}
90
∘
{\displaystyle 90^{\circ }}
(
90
∘
,
180
∘
)
{\displaystyle (90^{\circ },180^{\circ })}
180
∘
{\displaystyle 180^{\circ }}
(
180
∘
,
360
∘
)
{\displaystyle (180^{\circ },360^{\circ })}
360
∘
{\displaystyle 360^{\circ }}
令x為該角度數。
有三種特殊角的組合，其度數和均為特殊的值：
餘角 ：當兩個角的度數之和等於90°，即一個直角 ，這兩個角便是餘角。若兩個相鄰的角互為餘角，兩個非共用邊會形成直角。在歐幾里得幾何 中，非直角的兩角即互為餘角。若角A 和B 互為餘角，以下的數學式會成立：
sin
2
A
+
sin
2
B
=
1
cos
2
A
+
cos
2
B
=
1
tan
A
=
cot
B
sec
A
=
csc
B
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\sin ^{2}A+\sin ^{2}B&=1\\\cos ^{2}A+\cos ^{2}B&=1\\\tan A&=\cot B\\\sec A&=\csc B\end{aligned}}.}
（一角的正切 等於其餘角的餘切 ，一角的正割 等於其餘角的餘割 ）
三角函數中的餘函數 ，其前綴「co-」就是餘角的意思。 補角 ：當兩個角的度數之和等於180°，即一個平角 ，這兩個角便是互補角。若兩個相鄰的角互為餘角，兩個非共用邊會形成一直線。不過兩個不相鄰的角也可以是補角，例如平行四邊形中，任兩鄰角為互補角。圓內接四邊形 的對角也是互補角。若點P為圓O外的一點，而過點P作圓的切線，切點分別在點T和點Q，則∠TPQ和∠TOQ為互補角。
兩互補角的正弦相等，其餘弦及正切（若有定義義）大小相等，但符號異號。
在歐幾里得幾何中，三角形兩角的和為第三角的補角。 explementary angles or conjugate angles. 當兩個角的度數之和等於360°
互為餘角的角a 和角b 圖中的銳角和鈍角形成一組互補角
同頂角
a
+
b
+
c
=
360
∘
{\displaystyle a+b+c=360^{\circ }}
直線上的鄰角
a
+
b
+
c
=
180
∘
{\displaystyle a+b+c=180^{\circ }}
與平行線有關的定理 當
A
E
{\displaystyle AE}
B
D
{\displaystyle BD}
a
=
c
{\displaystyle a=c}
同位角 ，
A
E
/
/
B
D
{\displaystyle AE//BD}
b
=
d
{\displaystyle b=d}
內錯角 ，
A
E
/
/
B
D
{\displaystyle AE//BD}
b
+
c
=
180
∘
{\displaystyle b+c=180^{\circ }}
同旁內角 ，
A
E
/
/
B
D
{\displaystyle AE//BD}
由角度的關係也可以推得兩直線平行
當
a
=
c
{\displaystyle a=c}
A
E
{\displaystyle AE}
B
D
{\displaystyle BD}
當
b
=
d
{\displaystyle b=d}
A
E
{\displaystyle AE}
B
D
{\displaystyle BD}
當
b
+
c
=
180
∘
{\displaystyle b+c=180^{\circ }}
A
E
{\displaystyle AE}
B
D
{\displaystyle BD}
二曲線在P點的夾角定義為二曲線在P點切線A 和B 的夾角 曲線和直線的夾角或是二曲線間的夾角定義為二曲線在交點處切線 的夾角。
在歐幾里得空間 中，二個向量 u 及v 的角和其點積 及向量的長度有關：
u
⋅
v
=
cos
(
θ
)
‖
u
‖
‖
v
‖
.
{\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =\cos(\theta )\ \|\mathbf {u} \|\ \|\mathbf {v} \|.}
依上式可以用二個平面（或曲面）的法向量 ，計算二者之間的夾角，也可以根據二歪斜線 的向量計算其夾角。
在一個抽象的實數內積空間 中，在定義角時可以用內積
⟨
⋅
,
⋅
⟩
{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }
· )：
⟨
u
,
v
⟩
=
cos
(
θ
)
‖
u
‖
‖
v
‖
.
{\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =\cos(\theta )\ \|\mathbf {u} \|\ \|\mathbf {v} \|.}
在複數的內積空間中，為了使餘弦的數值仍維持實數，因此需修改為
Re
(
⟨
u
,
v
⟩
)
=
cos
(
θ
)
‖
u
‖
‖
v
‖
.
{\displaystyle \operatorname {Re} (\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle )=\cos(\theta )\ \|\mathbf {u} \|\ \|\mathbf {v} \|.}
或者使用絕對值的標示：
|
⟨
u
,
v
⟩
|
=
cos
(
θ
)
‖
u
‖
‖
v
‖
.
{\displaystyle |\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |=\cos(\theta )\ \|\mathbf {u} \|\ \|\mathbf {v} \|.}
後者不考慮向量的方向，因此是描述由向量
u
{\displaystyle \mathbf {u} }
v
{\displaystyle \mathbf {v} }
子空間
span
(
u
)
{\displaystyle \operatorname {span} (\mathbf {u} )}
span
(
v
)
{\displaystyle \operatorname {span} (\mathbf {v} )}
在黎曼幾何 中，利用度量張量 來定義二條切線 之間的夾角，其中U 及V 是切線向量，g ij G 的分量。
cos
θ
=
g
i
j
U
i
V
j
|
g
i
j
U
i
U
j
|
|
g
i
j
V
i
V
j
|
.
{\displaystyle \cos \theta ={\frac {g_{ij}U^{i}V^{j}}{\sqrt {\left|g_{ij}U^{i}U^{j}\right|\left|g_{ij}V^{i}V^{j}\right|}}}.}
以地理 的觀點，地球上任何一個位置都可以用地理座標系統 來表示，此系統標示位置的經度 及緯度 ，兩者都以此點連至地球球心連線的角度來表示，經度是以格林威治子午線 為參考基準，而緯度是以赤道 為參考基準。
在天文學 中，天球 的一點可以用任何一種天球坐標系統 來表示，不過其基準則因坐標系統不同而不同。天文學量測二顆星星的角距離 時，會假想分別有二顆星星分別和地球 連成的直線，再量測這二條直線的夾角，即為角距離。
天文學家也會用角直徑 量測一物體的表觀大小。例如滿月 的角直徑約為0.5°。小角公式 可以將上述的角測量轉換為距離和大小的比值。
線性（平動）的量
角度（轉動）的量
量綱
—
L
L2
量綱
—
—
—
T
時間 : t s 位移積分 : A m s T
時間 : t s
—
距離 : d 位矢 : r s x 位移 m 面積 : A m2 —
角度 : θ 角移 : θ rad 立體角 : Ω rad2 , sr
T−1
頻率 : f s−1 Hz 速率 : v 速度 : v m s−1 面積速率 : ν m2 s−1 T−1
頻率 : f s−1 Hz 角速率 : ω 角速度 : ω rad s−1
T−2
加速度 : a m s−2 T−2
角加速度 : α s−2
T−3
加加速度 : j −3 T−3
角加加速度 : ζ s−3
M
質量 : m kg ML2
轉動慣量 : I m2
MT−1
動量 : p 衝量 : J m s−1 , N s 作用量 : 𝒮 actergy : ℵ m2 s−1 , J s ML2 T−1
角動量 : L 角衝量 : ι m2 s−1 作用量 : 𝒮 actergy : ℵ m2 s−1 , J s
MT−2
力 : F 重量 : F g kg m s−2 , N 能量 : E 功 : W kg m2 s−2 , J ML2 T−2
力矩 : τ moment M kg m2 s−2 , N m 能量 : E 功 : W kg m2 s−2 , J
MT−3
加力 : Y kg m s−3 , N s−1 功率 : P kg m2 s−3 , W ML2 T−3
rotatum P kg m2 s−3 , N m s−1 功率 : P kg m2 s−3 , W
直角
優角（或作反角）
周角
銳角（a）、鈍角（b）和平角（c）
