三角形,又稱三邊形(英語: Triangle),是由三條線段順次首尾相連,或不共線的三點兩兩連接,所組成的一個閉合的平面幾何圖形,是最基本和最少邊的多邊形。
一般用大寫英語字母
、
和
為三角形的頂點標號;用小寫英語字母
、
和
表示邊;用
、
和
給角標號,又或者以
這樣的頂點標號來表示。
銳角三角形的所有內角均為銳角。
鈍角三角形是其中一角為鈍角的三角形,其餘兩角均小於90°。
有一個角是直角(90°)的三角形為直角三角形。成直角的兩條邊稱為「直角邊」(cathetus),直角所對的邊是「斜邊」(hypotenuse);或最長的邊稱為「弦」,底部的一邊稱作「勾」(又作「句」),另一邊稱為「股」。斜邊乘上斜邊上的高÷2=勾股相乘÷2=此直角三角形面積(ch=ab)
直角三角形各邊與角度的關係,可以三角比表示。
三條邊邊長皆不相等的三角形稱為不等邊三角形。
等邊三角形(又稱正三角形),為三邊相等的三角形。其三個內角相等,均為60°。它是銳角三角形的一種。設其邊長是
,則其面積公式為
。
等邊三角形是正四面體、正八面體和正二十面體這三個正多面體面的形狀。六個邊長相同的等邊三角形可以拼成一個正六邊形。
對邊是指一個角對面的那條邊。比如∠A的對邊就是BC,∠B的對邊就是AC,∠C的對邊就是AB。
對邊測量是全站儀的一種專項測量功能,它可以間接測量兩個不可通視點之間的水平距離。該方法設站靈活,操作簡單,但它的測量精度沒有標註,需要通過計算求得。
等腰直角三角形只有一種形狀,其中兩個角為45度。
等腰三角形是三條邊中有兩條邊相等(或是其中兩隻內角相等)的三角形。等腰三角形中的兩條相等的邊被稱為「腰」,而另一條邊被稱為「底邊」,兩條腰交叉組成的那個點被稱為「頂點」,它們組成的角被稱為「頂角」。
等邊三角形和等腰直角三角形是等腰三角形的特殊形式。
令其底邊是
,腰是
,則其面積公式為
等腰三角形的對應高,角平分線和中線重合。
退化三角形是指面積為零的三角形。滿足下列條件之一的三角形即可稱為退化三角形:三個內角的度數為(180°,0°,0°)或(90°,90°,0°);三邊其中一條邊的長度為0;一條邊的長度等於另外兩條之和。有人認為退化三角形並不能算是三角形,這是由於它介乎於三角不等式之間,在一些資料中已否定了其中一條邊等於其餘兩條邊之和的情況。
勒洛三角形(英語:Reuleaux triangle),也譯作萊洛三角形或弧三角形,又被稱為劃粉形或曲邊三角形,是除了圓形以外,最簡單易懂的勒洛多邊形,一個定寬曲線。將一個曲線圖放在兩條平行線中間,使之與這兩平行線相切,則可以做到:無論這個曲線圖如何運動,只要它還是在這兩條平行線內,就始終與這兩條平行線相切。這個定義由十九世紀的德國工程師弗朗茨·勒洛命名。
- 三角邊長不等式
- 三角形兩邊之和大於第三邊,兩邊之差的絕對值小於第三邊。如果兩者相等,則是退化三角形。
- 三角內外角不等式
- 三角形任意一個外角大於不相鄰的一個內角。
- 三角形外角
- 三角形兩內角之和,等於第三角的外角。
- 三角形內角和
- 在歐幾里德平面內,三角形的內角和等於180°。
畢氏定理,又稱畢氏定理或畢達哥拉斯定理。其斷言,若直角三角形的其中一邊
為斜邊,即
的對角
,則
。
畢氏定理的逆定理亦成立,即若三角形滿足
,
則
![{\displaystyle \gamma =90^{\circ }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08ed45556d3a8174ad5d5a4b3f9e0451024aba9c)
設
為三角形外接圓半徑,則
![{\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}=2R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f987b7852fd94c08935e5ff94e2512e50af5f2c5)
對於任意三角形:
![{\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot \cos \alpha ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b303f2a435e24d84b2576d4293d22cb92762145e)
![{\displaystyle b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cdot \cos \beta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e33e6d6a39b8cc3b17bed5822529161da0a483c1)
![{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot \cos \gamma .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eeecdd4af8a47a4b7c36e7f1405e903e49788d84)
畢氏定理是本定理的特殊情況,即當角
時,
,於是
化簡為
。
三角形具有穩定性,若二個三角形有以下的邊角關係確定後,它的形狀、大小就不會改變,二個三角形即為全等三角形。全等三角形的判斷準則有以下幾種:
- SSS(Side-Side-Side,邊、邊、邊):各三角形的三條邊的長度都對應地相等。
- SAS(Side-Angle-Side,邊、角、邊):各三角形的其中兩條邊的長度都對應地相等,且兩條邊夾著的角都對應地相等。
- ASA(Angle-Side-Angle,角、邊、角):各三角形的其中兩個角都對應地相等,且兩個角夾著的邊都對應地相等。
- RHS(Right Angle-Hypotenuse-Side,直角、斜邊、邊):在直角三角形中,斜邊及另外一條直角邊對應地相等。[1]
- AAS(Angle-Angle-Side,角、角、邊):各三角形的其中兩個角都對應地相等,且其中一組對應角的對邊也對應地相等。
SSA(Side-Side-Angle、邊、邊、角)不能保證兩個三角形全等,除非該角大於等於90°,此時可以保證全等。[2]:34[3]
- AA(Angle-Angle,角、角):各三角形的其中兩個角的都對應地相等。(或稱AAA(Angle-Angle-Angle,角、角、角))
- 三邊成比例(3 sides proportional):各三角形的三條邊的長度都成同一比例。
- 兩邊成比例且夾角相等(ratio of 2 sides, inc.∠):各三角形的兩條邊之長度都成同一比例,且兩條邊之夾角都對應地相等。(或稱 2 sides proportional, inc. ∠ equal)
三角形中有著一些特殊線段,是三角形研究的重要對象。
- 中線(median):三角形一邊中點與這邊所對頂點的連線段。
- 高線(altitude):從三角形一個頂點向它的對邊所作的垂線段。
- 角平分線(angle bisector):平分三角形一角、一個端點在這一角的對邊上的線段。
- 垂直平分線(perpendicular bisector):通過三角形一邊中點與該邊所垂直的線段,又稱中垂線。
以上特殊線段,每個三角形均有三條,且三線共點。
設在
中,若三邊
、
、
的中線分別為
、
、
,則:
![{\displaystyle m_{a}={\sqrt {{\frac {1}{2}}b^{2}+{\frac {1}{2}}c^{2}-{\frac {1}{4}}a^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7efd3721e9af7c7bbced93d7dc900376cef96b55)
![{\displaystyle m_{b}={\sqrt {{\frac {1}{2}}a^{2}+{\frac {1}{2}}c^{2}-{\frac {1}{4}}b^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d395affa040760b096cceebc35017da36f0a9a07)
![{\displaystyle m_{c}={\sqrt {{\frac {1}{2}}a^{2}+{\frac {1}{2}}b^{2}-{\frac {1}{4}}c^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abf31667dc2b71cc120761b056055a6ff2e9a392)
設在
中,連接三個頂點
、
、
上的高分別記作
、
、
,則:
![{\displaystyle h_{a}={\frac {2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}{a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3404710096801926eb512d078462bb3b87fa4128)
![{\displaystyle h_{b}={\frac {2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}{b}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bc893fb72f6cad62f748aa7eee5785001e042af)
![{\displaystyle h_{c}={\frac {2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}{c}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a090c145dc075d7a2c3e4729ea3a5e6bbb53e6a)
其中
。
設在
中,若三個角
、
、
的角平分線分別為
、
、
,則:
![{\displaystyle t_{a}={\frac {1}{b+c}}{\sqrt {\left(b+c+a\right)\left(b+c-a\right)bc}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54054aa0bf08aa60afaf3bb511c3741004e8d914)
![{\displaystyle t_{b}={\frac {1}{a+c}}{\sqrt {\left(a+c+b\right)\left(a+c-b\right)ac}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f62690eca02312a89a53c86243d1fab1aad5648c)
![{\displaystyle t_{c}={\frac {1}{a+b}}{\sqrt {\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)ab}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8ba01fe510eb64e6ee881b4742d9b34124298dc)
三角形的內心(Incenter) 、外心(Circumcenter)、垂心(Orthocenter) 及形心(Centroid)稱為三角形的四心,定義如下:
關於三角形的四心,有這樣的一首詩:
“
|
內心全靠角平分,
外心中點垂線伸,
垂心垂直畫三高,
形心角連線中心。
|
”
|
垂心(藍)、形心(黃)和外心(綠)能連成一線,且成比例1:2,稱為歐拉線,與九點圓的圓心(紅)四點共線,為垂心和形心線段的中點。
連同以下的旁心,合稱為三角形的五心:
設外接圓半徑為
, 內切圓半徑為
,則:
![{\displaystyle R={\frac {abc}{\sqrt {\left(a+b+c\right)\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\left(a+b-c\right)}}}={\frac {abc}{4\triangle }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8995e358ba0fa004f5c58d5c8ce3e2fbfb427558)
![{\displaystyle r={\frac {\sqrt {\left(a+b+c\right)\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\left(a+b-c\right)}}{2\left(a+b+c\right)}}={\frac {\triangle }{s}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b10e7557566b46451a9219cccb9d4f3eb3f1bfe5)
其中
為三角形面積;
為三角形半周長,
三角形的面積
是底邊
與高
乘積的一半,即:
,
其中的高是指底邊與對角的垂直距離。
證明
三角形的面積可表示為一長方形面積的一半。
從右圖可知,將兩個全等三角形相拼,可得一平行四邊形。而將該平行四邊形分割填補,正好能得到一個面積等於
的長方形。因此原來的三角形面積為
。
證畢。
設
為已知的兩邊,
為該兩邊的夾角,則三角形面積是:
。
證明
三角形的高h能以正弦的定義表示。
觀察右圖,根據正弦的定義:
。
因此:
。
將此式代入基本公式,可得:
。
證畢。
、
為已知的兩角,
為該兩角的夾邊,則三角形面積是:
。
證明
三角形的面積能從兩角及其夾邊求得。
從正弦定理可知:
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {b}{\sin \beta }}&={\frac {a}{\sin \alpha }}\\b&={\frac {a\sin \beta }{\sin \alpha }}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73bc8baec26c3ff0f2d1139ff21d8c4090eeb98d)
代入
,得:
。
注意到
,因此:
![{\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {a^{2}\sin \beta \sin \gamma }{2\sin[180^{\circ }-(\beta +\gamma )]}}\\&={\frac {a^{2}\sin \beta \sin \gamma }{2\sin(\beta +\gamma )}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b89d1a8b04836b7ba80972fe0f1b3aedb7280e5)
證畢。
海倫公式,其表示形式為:
,
其中
等於三角形的半周長,即:
![{\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/787a98dac5681f383514fc1bd5b4d8e561a3fd21)
秦九韶亦求過類似的公式,稱為三斜求積法:
![{\displaystyle A={\sqrt {{\frac {1}{4}}{\left[c^{2}a^{2}-\left({\frac {c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2}}\right)^{2}\right]}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6f2fbc21365f1afa144d659370d9cb5869a12be)
也有用冪和來表示的公式:
[註 1]
證明
將海倫公式略為變形,知
![{\displaystyle 16A^{2}=[(a+b)+c][(a+b)-c]\times [c+(a-b)][c-(a-b)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7253baad63f0b4d87117038d3c2aa440ea007206)
多次使用平方差公式,得
![{\displaystyle {\begin{aligned}16A^{2}&=[(a+b)^{2}-c^{2}]\times [c^{2}-(a-b)^{2}]\\&=[2ab+(a^{2}+b^{2}-c^{2})]\times [2ab-(a^{2}+b^{2}-c^{2})]\\&=(2ab)^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}\\&=4a^{2}b^{2}-(a^{4}+b^{4}+c^{4}+2a^{2}b^{2}-2b^{2}c^{2}-2a^{2}c^{2})\\&=(2a^{2}b^{2}+2b^{2}c^{2}+2a^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})\\&=2(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07a06b2e97f507877bd44020043ee18f60e83f3f)
等號兩邊開根號,再同除以4,得
![{\displaystyle A={\frac {1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb4234ddf7f97eb7394ecb150e8030dd95868606)
亦可用Cayley–Menger行列式表示的公式:
![{\displaystyle 16\cdot A^{2}=-{\begin{vmatrix}0&a^{2}&b^{2}&1\\a^{2}&0&c^{2}&1\\b^{2}&c^{2}&0&1\\1&1&1&0\\\end{vmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bf94300b6f412e7652d0c4329d00d7b784e1470)
基於海倫公式在三角形擁有非常小的角度時並不數值穩定,有一個變化的計法。設
,三角形面積為:
。
由
、
及
三個頂點構成的三角形,其面積可用行列式的絕對值表示:
![{\displaystyle A=\left|{\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}\right|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/010856407e2e08312cfd0eb270714b28536b6712)
證明
無論三角形的頂點位置如何,該三角形總可以用一個直角梯形(或矩形)和兩個直角三角形面積的和差來表示,而在直角坐標系中,已知直角梯形(或矩形)和直角三角形的頂點的坐標,該三角形的面積容易求出,即用上述的行列式表示。
若三個頂點設在三維坐標繫上,即由
、
及
三個頂點構成三角形,其面積等於各自在主平面上投影面積的畢氏和,即:
![{\displaystyle A={\frac {1}{2}}{\sqrt {{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}^{2}+{\begin{vmatrix}y_{1}&z_{1}&1\\y_{2}&z_{2}&1\\y_{3}&z_{3}&1\end{vmatrix}}^{2}+{\begin{vmatrix}z_{1}&x_{1}&1\\z_{2}&x_{2}&1\\z_{3}&x_{3}&1\end{vmatrix}}^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/651cdec4d8a0c0b328ae81a70989f07196ea1439)
設三角形三邊邊長分別為
、
及
,三角形半周長(
)為
,內切圓半徑為
,則:
![{\displaystyle A=sr}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ad722a53acab8a59175c5e58b63839e3ae1f3bb)
若設外接圓半徑為
,則:
![{\displaystyle A={\frac {abc}{4R}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c1c9b5fbd01f40231570f0a19e38d0c1ec622da)
證明
內切圓半徑公式
三角形被三條角平分線分成三分。
根據右圖,設
,
,
,則三角形面積可表示為:
![{\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {1}{2}}ar+{\frac {1}{2}}br+{\frac {1}{2}}cr\\&={\frac {r(a+b+c)}{2}}\\&=rs\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d41d1a8f1054cefb15d43414bfc8cb3c79ad47a)
外接圓半徑公式
根據正弦定理:
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {c}{\sin \gamma }}&=2R\\\sin \gamma &={\frac {c}{2R}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffbaa8318e6ffd52d7d17c6b7cb3c08073c2745b)
因此:
![{\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma \\&={\frac {1}{2}}ab\left({\frac {c}{2R}}\right)\\&={\frac {abc}{4R}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6c45a4d0722b0025bfe99b6f637424249ad5bec)
設從一角出發,引出兩邊的向量為
及
,三角形的面積為:
![{\displaystyle A={\frac {1}{2}}|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/994f9b713e687ba25a9a1ad89720dff52cb86974)
證明
根據向量積定義,
,
其中
是兩支向量的夾角。
因此:
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |={\frac {1}{2}}|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\sin \gamma =A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1367f9607fea51daa7e7ce079224ff60539ab770)
證畢。
在三角形
中,三個角的半角的正切和三邊有如下關係:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\tan {\frac {A}{2}}&={\sqrt {\dfrac {(a+c-b)(a+b-c)}{(a+b+c)(b+c-a)}}}\\\tan {\frac {B}{2}}&={\sqrt {\dfrac {(a+b-c)(b+c-a)}{(a+b+c)(a+c-b)}}}\\\tan {\frac {C}{2}}&={\sqrt {\dfrac {(b+c-a)(a+c-b)}{(a+b+c)(a+b-c)}}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/269c94e65d8ec7eb4b049d7e07d8ce505502eb9f)