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黃金比例

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黃金比例的線段

黃金比例,又稱黃金分割[1],是一個數學常數,一般以希臘字母表示[2][3][4]。可以透過以下代數式定義:

這也是黃金比例一名的由來。
黃金比例的準確值為,所以是無理數,而大約值則為(小數點後20位,OEISA001622):

應用時一般取1.618,就像圓周率在應用時取3.14一樣。

黃金分割具有嚴格的比例性、藝術性、和諧性,蘊藏著豐富的美學價值,而且呈現於不少動物植物的外觀。現今很多工業產品、電子產品、建築物或藝術品均普遍應用黃金分割,展現其功能性與美觀性。

歷史[編輯]

黃金比例是屬於數學領域的一個專有名詞,但是它最後涵蓋的內容不只是有關數學領域的研究,以目前的文獻探討我們可以說黃金比例的發現和如何演進至今仍然是一個謎。但有研究指出公元前6世紀古希臘的畢達哥拉斯學派研究過正五邊形和正十邊形的作圖,因此現代數學家們推斷當時畢達哥拉斯學派已經觸及甚至掌握了黃金分割的一些規則,也發現了無理數。他側重於從數學關係去探討美的規律,並認為美就是和諧與比例,按照這種比例關係就可以組成美的圖案,這其實是一個數字的比例關係,即將一條線分成兩部分,較長的一段與較短的一段之比等於全長與較長的一段之比,它們的比例大約是1.618:1。按此種比例關係組成的任何事物都表現出其內部關係的和諧與均衡。

公元前6世紀古希臘的畢達哥拉斯學派研究過正五邊形和正十邊形的作圖,因此現代數學家們推斷當時畢達哥拉斯學派已經觸及甚至掌握了黃金分割。公元前4世紀,古希臘數學家歐多克索斯第一個系統研究了這一問題,並建立起比例理論。公元前300年前後歐幾里得撰寫《幾何原本》時吸收了歐多克索斯的研究成果,進一步系統論述了黃金分割,成為最早的有關黃金分割的論著(即中末比)[5]

中世紀後,黃金分割被披上神秘的外衣,義大利數學家帕喬利稱中末比為神聖比例,並專門為此著書立說。德國天文學家克卜勒稱神聖比例為黃金分割。到19世紀黃金分割這一名稱才逐漸通行,而證據在於德國數學家歐姆(Martin Ohm)所寫的《基本純數學》的第二版一書中在注釋中寫到有關黃金比例的解釋,他是這樣寫的「人們習慣把按此方式將任一直線分割成兩部分的方法,稱為黃金分割」。而在1875年出版的《大英百科全書》的第九版中,蘇利有提到這一段話「由費區那……提出的有趣、實驗性濃厚的想法宣稱,『黃金分割』在視覺比例上具有所謂的優越性。」可見黃金分割在當時已經流行了。二十世紀時美國數學家巴爾(Mark Barr)給它一個叫phi的名字。黃金分割有許多有趣的性質,人類對它的實際應用也很廣泛,造就了他今天的名氣。最著名的例子是優選學中的黃金分割法或0.618法,是由美國數學家基弗於1953年首先提出的,70年代在中國推廣。

基本計算[編輯]

黃金分割是根據黃金比例,將一條線分割成兩段。總長度a+b與長度較長的a之比等於a與長度較短的b之比。

兩個數值構成黃金比例,如果:

一個得出數值的方法是從左邊的分數式入手。經過簡化和代入,

於是:

兩邊乘以就得到:

即是

找出該方程的正解,

黃金分割奇妙之處,在於其倒數為自身減1,即:1.618...的倒數為0.618... = 1.618... - 1,並時常被稱為「黃金比例共軛」[6]

從上面的得到:

這個0.618...的數值常用希臘字母表示,即:

,亦可表達為:

替代或其他形式[編輯]

藉由有限連分數或者斐波納契數列的比例中看出近似於黃金比例的倒數。

公式φ = 1 + 1/φ可以被遞歸擴展來獲得黃金比例的連分數[7]

而它的倒數是:

平方根表示:

三角函數的特殊值表示[8]

即是:

例子[編輯]

貴金屬分割[編輯]

貴金屬分割即,其中n為正整數。n=1時為黃金分割((1+√5)/2),n=2時為白銀分割(1+√2),n=3時為青銅分割((3+√13)/2)。用連分數可表示為

參考文獻[編輯]

  1. ^ Summerson John, Heavenly Mansions: And Other Essays on Architecture (New York: W.W. Norton, 1963) p. 37. "And the same applies in architecture, to the rectangles representing these and other ratios (e.g. the 'golden cut'). The sole value of these ratios is that they are intellectually fruitful and suggest the rhythms of modular design."
  2. ^ Livio, Mario. The Golden Ratio: The Story of Phi, The World's Most Astonishing Number. New York: Broadway Books. 2002. ISBN 0-7679-0815-5. 
  3. ^ Piotr Sadowski. The knight on his quest: symbolic patterns of transition in Sir Gawain and the Green Knight. University of Delaware Press. 1996: 124. ISBN 978-0-87413-580-0. 
  4. ^ Richard A Dunlap, The Golden Ratio and Fibonacci Numbers, World Scientific Publishing, 1997
  5. ^ Strogatz, Steven. Me, Myself, and Math: Proportion Control. New York Times. 2012-09-24. 
  6. ^ MathWorldGolden Ratio Conjugate的資料,作者:埃里克·韋斯坦因
  7. ^ Max. Hailperin; Barbara K. Kaiser; Karl W. Knight. Concrete Abstractions: An Introduction to Computer Science Using Scheme. Brooks/Cole Pub. Co. 1998. ISBN 0-534-95211-9. 
  8. ^ Brian Roselle, "Golden Mean Series"

更多閱讀[編輯]

  • Doczi, György. The Power of Limits: Proportional Harmonies in Nature, Art, and Architecture. Boston: Shambhala Publications. 2005 [1981]. ISBN 1-59030-259-1. 
  • Huntley, H. E. The Divine Proportion: A Study in Mathematical Beauty. New York: Dover Publications. 1970. ISBN 0-486-22254-3. 
  • Joseph, George G. The Crest of the Peacock: The Non-European Roots of Mathematics New. Princeton, NJ: Princeton University Press. 2000 [1991]. ISBN 0-691-00659-8. 
  • Livio, Mario. The Golden Ratio: The Story of PHI, the World's Most Astonishing Number Hardback. NYC: Broadway (Random House). 2002 [2002]. ISBN 0-7679-0815-5. 
  • Sahlqvist, Leif. Cardinal Alignments and the Golden Section: Principles of Ancient Cosmography and Design 3rd Rev. Charleston, SC: BookSurge. 2008. ISBN 1-4196-2157-2. 
  • Schneider, Michael S. A Beginner's Guide to Constructing the Universe: The Mathematical Archetypes of Nature, Art, and Science. New York: HarperCollins. 1994. ISBN 0-06-016939-7. 
  • Scimone, Aldo. La Sezione Aurea. Storia culturale di un leitmotiv della Matematica. Palermo: Sigma Edizioni. 1997. ISBN 978-88-7231-025-0. 
  • Stakhov, A. P. The Mathematics of Harmony: From Euclid to Contemporary Mathematics and Computer Science. Singapore: World Scientific Publishing. 2009. ISBN 978-981-277-582-5. 
  • Walser, Hans. The Golden Section. Peter Hilton trans. Washington, DC: The Mathematical Association of America. 2001 [Der Goldene Schnitt 1993]. ISBN 0-88385-534-8.