代數幾何

陶里亞蒂曲面是一個五階代數曲面。上圖代表曲面的其中一個實軌跡。

代數幾何（英語：algebraic geometry）是數學的一個分支，經典代數幾何研究多項式方程的零點。現代代數幾何將抽象代數，尤其是交換代數，同幾何學的語言和問題結合起來。

代數幾何的基本研究對象為代數簇。代數簇是由空間坐標的若干代數方程的零點集。常見的例子有平面代數曲線，比如直線、圓、橢圓、拋物線、雙曲線、三次曲線（非奇異情形稱作橢圓曲線）、四次曲線（如雙紐線，以及卵形線）、以及一般n次曲線。代數幾何的基本問題涉及對代數簇的分類，比如考慮在雙有理等價意義下的分類，即雙有理幾何，以及模空間問題，等等。

代數幾何在現代數學佔中心地位，與多複變函數論、微分幾何、拓撲學和數論等不同領域均有交叉。始於對代數方程組的研究，代數幾何延續解方程未竟之事；與其求出方程實在的解，代數幾何嘗試理解方程組的解的幾何性質。代數幾何的概念和技巧都催生了某些最深奧的數學的分支。

進入20世紀，代數幾何的研究又衍生出幾個分支：

• 研究代數簇中，坐標在有理數域或代數數域里的點；這一分支發展成算術幾何（更經典地，丟番圖幾何），屬於代數數論的分支。
• 研究代數簇的實點，即實代數幾何。
• 奇點理論的一大部分致力於研究代數簇中的奇異點，及關於奇異點的解消的存在性和方法。
• 代數簇的上同調理論，如晶體上同調、平展上同調、以及Motive（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）上同調。
• 幾何不變量理論，起始於戴維·芒福德在二十世紀六十年代的研究，其思想起源於大衛·希爾伯特的古典不變量理論。
• 隨着計算機的興起，計算代數幾何作為代數幾何與符號運算兩支的交叉而嶄露頭角。這一分支本質上包含開發算法和軟件與尋找顯代數簇的性質這兩項工作。

20世紀以來，代數幾何主流的許多進展都在抽象代數的框架內進行，越發強調代數簇「內蘊的」性質，即那些不取決於代數簇在射影空間的具體嵌入方式的性質，與拓撲學、微分幾何及復幾何等學科的發展相應。抽象代數幾何的一大關鍵成就是格羅滕迪克的概形論；概形論允許人們應用層論研究代數簇，某種意義上與應用層論研究微分流形與解析流形是否相似。概形論延伸了點的概念。在經典代數幾何中，根據希爾伯特零點定理，一個仿射代數簇的一點對應於坐標環上的一個極大理想，仿射概形上的子簇則對應於坐標環的素理想。而在概型論中，概型的點集包含了經典情況代數簇的點集，以及所有子簇的信息。這種方法使得經典代數幾何（主要涉及閉點）同時聯繫起了微分幾何、數論等主流分支的問題研究。

基本概念

聯立多項式的零點

球和傾斜的圓周

在古典代數幾何中，主要的研究對象是一組多項式的公共零點集，即同時滿足一個或多個多項式方程的所有點組成的集合。 例如，在三維歐幾里德空間$\mathbb {R} ^{3}$中的單位球面被定義為滿足方程

$x^{2}+y^{2}+z^{2}-1=0$

的所有點$(x,y,z)$的集合。

一個 "傾斜的" 圓周在三維歐幾里德空間$\mathbb {R} ^{3}$中可以被定義為同時滿足如下兩個方程

$x^{2}+y^{2}+z^{2}-1=0$，

$x+y+z=0$

的所有點$(x,y,z)$的集合。

仿射簇

主條目：代數簇

現在我們開始進入稍微抽象的領域。考慮一個數域 $k$，在古典代數幾何中這個域通常是複數域$\mathbf {C}$，現在我們把它推廣為一個代數封閉的數域。我們定義數域$k$上的$n$維仿射空間${\mathbb {A} }_{k}^{n}$，簡單講來，它只是一些點的集合，以下為方便我們簡記為${\mathbb {A} }^{n}$。

如果函數

$f:{\mathbb {A} }^{n}\to {\mathbb {A} }^{1}$

可以被寫為多項式，即如果有多項式$p$在

$k[x_{1},\cdots ,x_{n}]$上，

使得對${\mathbb {A} }^{n}$上的每個點

$(t_{1},\cdots ,t_{n})$

都有

$f(t_{1},\cdots ,t_{n})=p(t_{1},\cdots ,t_{n})$，定義這個函數是正則的。

$n$維仿射空間的正則函數正是數域$k$上$n$個變量的多項式。我們將${\mathbb {A} }^{n}$上的正則函數記為 $k[{\mathbb {A} }^{n}]$。

與拓撲場論的關係

拓撲場論是數學物理中對sigma 模型的場做路徑積分量子化的理論。

sigma 模型是從一個實二維曲面到一個固定空間的映射，再加上此二維曲面上一些叢的平滑截面。其中映射部份被稱爲玻色場，截面部份被稱爲費米場。該理論的主要目的是通過路徑積分計算配分函數。

在一些特殊情況下，可以用局部化方法把配分函數原在無限維空間的積分化簡爲在有限維空間的積分。對不同的作用量而言，這個過程給出了代數幾何的幾種計數理論，包括：

• Gromov Witten 不變量（即IIA型弦論）
• 辛流形裏的全純曲線計數
• Seiberg Witten不變量
• Chern Simon 數規範場

IIB型弦論則利用了 Hodge 結構的形變來計算。

主要研究者

• 亞歷山大·格羅滕迪克
• 讓-皮埃爾·塞爾
• 奧斯卡·扎里斯基
• 安德烈·韋伊
• 米高·弗朗西斯·阿蒂亞
• 愛德華·威滕
• 小平邦彥
• 森重文
• 廣中平祐
• 梅村浩
• 飯高茂
• 斎藤秀司
• 周煒良

參見

• 微分幾何
• 幾何代數
• 代數拓樸
• 微分拓樸

參考書目

經典教科書，先於概形:

• W. V. D. Hodge; Daniel Pedoe. Methods of Algebraic Geometry: Volume 1. Cambridge University Press. 1994. ISBN 978-0-521-46900-5. 
• Hodge, W. V. D.; Pedoe, Daniel. Methods of Algebraic Geometry: Volume 2. Cambridge University Press. 1994. ISBN 978-0-521-46901-2. 
• Hodge, W. V. D.; Pedoe, Daniel. Methods of Algebraic Geometry: Volume 3. Cambridge University Press. 1994. ISBN 978-0-521-46775-9. 

不使用概形的語言的現代教科書:

• Phillip Griffiths; Joe Harris. Principles of Algebraic Geometry. Wiley-Interscience. 1994. ISBN 978-0-471-05059-9. 
• Joe Harris. Algebraic Geometry: A First Course. Springer-Verlag. 1995. ISBN 978-0-387-97716-4. 
• David Mumford. Algebraic Geometry I: Complex Projective Varieties 2nd ed. Springer-Verlag. 1995. ISBN 978-3-540-58657-9.  引文格式1維護：冗餘文本 (link)
• Miles Reid. Undergraduate Algebraic Geometry. Cambridge University Press. 1988. ISBN 978-0-521-35662-6. 
• Igor Shafarevich. Basic Algebraic Geometry I: Varieties in Projective Space 2nd ed. Springer-Verlag. 1995. ISBN 978-0-387-54812-8.  引文格式1維護：冗餘文本 (link)

關於概形的教科書和參考書:

• David Eisenbud; Joe Harris. The Geometry of Schemes. Springer-Verlag. 1998. ISBN 978-0-387-98637-1. 
• 亞歷山大·格羅滕迪克. 代数几何基础. Publications mathématiques de l'IHÉS. 1960. 
• 亞歷山大·格羅滕迪克. 代数几何基础 1 2nd ed. Springer-Verlag. 1971. ISBN 978-3-540-05113-8.  引文格式1維護：冗餘文本 (link)
• Robin Hartshorne. Algebraic Geometry. Springer-Verlag. 1997. ISBN 978-0-387-90244-9. 
• David Mumford. The Red Book of Varieties and Schemes: Includes the Michigan Lectures (1974) on Curves and Their Jacobians 2nd ed. Springer-Verlag. 1999. ISBN 978-3-540-63293-1.  引文格式1維護：冗餘文本 (link)
• Igor Shafarevich. Basic Algebraic Geometry II: Schemes and Complex Manifolds. Springer-Verlag. 1995. ISBN 978-0-387-54812-8. 

互聯網上的資料:

• Kevin R. Coombes: Algebraic Geometry: A Total Hypertext Online System
• Algebraic geometryentry on PlanetMath（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• Algebraic Equations and Systems of Algebraic Equations（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） at EqWorld: The World of Mathematical Equations