定理(英语:Theorem)是经过受逻辑限制的证明为真的陈述。一般来说,在数学中,只有重要或有趣的陈述才叫定理。证明定理是数学的中心活动。一个定理陈述一个给定类的所有(全称)元素一种不变的关系,这些元素可以是无穷多,它们在任何时刻都无区别地成立,而没有一个例外。(例如:某些
是
,某些
是
,就不能算是定理)。
猜想是相信为真但未被证明的数学叙述,或者叫做命题,当它经过证明后便是定理。猜想是定理的来源,但并非唯一来源。一个从其他定理引伸出来的数学叙述可以不经过成为猜想的过程,成为定理。
如上所述,定理需要某些逻辑框架,继而形成一套公理(公理系统)。同时,一个推理的过程,容许从公理中引出新定理和其他之前发现的定理。
在命题逻辑,所有已证明的叙述都称为定理。
- 数学原理
- 公理(也称公设)-公理是没有经过证明,但被当作不证自明的一个命题。
- 定理
- 命题-通常,命题是一个可以判断真或假的陈述句,亦有既真又假的命题(悖论)。
- 推论(也称系、系理)-一个从定理随之而即时出现的叙述。若命题B可以很快、简单地推导出命题A,命题A为命题B的推论。
- 引理(也称辅助定理,补理)-某个定理的证明的一部分的叙述。它并非主要的结果。引理的证明有时还比定理长,例如舒尔引理。
- 假说-根据已知的科学事实和科学原理,对所研究的自然现象及其规律性提出的推测和说明。
定理一般都有许多条件。然后有结论——一个在条件下成立的数学叙述。通常写作“若条件,则结论”。用符号逻辑来写就是条件→结论。而当中的证明不视为定理的成分。
若存在某叙述为
,其逆叙述就是
。逆叙述成立的情况是
,否则通常都是倒果为因,不合常理。若果叙述是定理,其成立的逆叙述就是逆定理。
- 若某叙述和其逆叙述都为真,条件必要且充足。
- 若某叙述为真,其逆叙述为假,条件充足。
- 若某叙述为假,其逆叙述为真,条件必要。
逻辑语言中的定理表示的是一个公式集合,并且该公式集合中的每一个公式都代表着知识的一个片段,由此我们可以给定理一个更准确的表达(这里所说的定理指的是在一阶逻辑中的定理,通常来说任意一个命题集合往往不一定是定理)。定理在逻辑中的定义︰
- 一个定理是一个含有由建立于语言集合
上的命题(
-命题)组成的非空集合。
这个定理(或这个命题集合)我们记作
,这些建立于语言集合
上的命题必须符合如下属性:
- 对所有在
中的命题
,如果
,那么
。
比如一个永真命题集合是一个定理,这个永真命题集合被包含在所有建立在语言集合
上的定理中。此外,我们说一个定理是另外一个定理
的扩展(extension),前提是该定理包含定理
。
有一个命题集合
,我们将一个包含
的集合记作
,那么
。显而易见
,所以
是一个定理。比如我们有一个集合
,
有三个基于语言
上的命题,其中
,
是常数符号,
是函数符号。三个命题如下:
,
,
。
那么如果有
,则
是
的定理。当然,如果
和
是两个命题集合且满足
,那么
。
我们说一个定理
是完整的(Complete),当且仅当对于和
一样构建在同样语言集合上的所有命题
,要么
,要么
。
- 注意:这个概念不能和定理
的完备性(Completude)混淆,完备性是证明在定理
中的永真命题是递推可枚举的(recursivement enumerable),但是不能说它一定是完整的。
不是所有的定理是完整的。比如
一个空集合
的定理是所有真命题集合,但是
不是完整的。假如有命题
,对于
来说,它既不是永真命题,也不是永假命题,它是一个可满足式的命题,也就是说
且
。因此
,所以我们说
不是完整的。
一个定理
称作是稳健的(Consistante),当且仅当
。我们说对所有的解释(Interpretation)
,
是一个定理,并且
既是稳健的又是完整的。