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是一種幾何圖形,指的是平面中到一個定距離為定值的所有點的集合。這個給定的點稱為圓的圓心。作為定值的距離稱為圓的半徑。當一條線段繞著它的一個端點在平面內旋轉一周時,它的另一個端點的軌跡就是一個圓。根據定義,通常用圓規來畫圓。

圓作為一條閉合的曲線,將平面分為兩個部分,即圓的內部和圓的外部。日常生活中的圓既可以指作為邊界的曲線(這時也稱為圓周),也可以指這條曲線以及它內部的部分的總和(這時也稱為圓盤)。圓周的長度稱為圓的周長

圓是特殊的橢圓,所以是圓錐曲線的一種。當橢圓的離心率等於0,也就是說兩個焦點重合時,就是一個圓。換句話說,圓是用垂直於圓錐對稱軸線的平面截取圓錐所得到的平面曲線。

數學[編輯]

定義[編輯]

歐幾里德幾何[編輯]

在《幾何原本》中,圓是平面圖形的一種,是一個閉合曲線,使得平面上有一個,這點到該圖形上任一所連之直線段長度相等[1]

解析幾何[編輯]

AE中的圓環用的就是上面參考方程,從而控制角度,確定每個角度的XY位置,當然再這之前你要將弧度轉化角度

概念和特性[編輯]

CirclesLines ZH.png

切線[編輯]

  • 切線:過圓上一點的切線:設該點為P(xo,yo),圓的方程為(x-a)²+(y-b)²=r²,則該點和圓的切線方程為:(xo-a)*(x-a)+(yo-b)*(y-b)=r².
  • 直徑:圓上每一點都到一個定點距離相等,這個點叫做圓的圓心(通常用O表示)。從圓心到圓上任何一點的距離稱為圓的半徑(通常用r表示)。圓上兩點最大距離是半徑的兩倍,也稱為圓的直徑(通常用d表示)。離圓心距離小於或等於半徑的所有點組成一個圓盤
k = \{X\in E\mid{}\overline{MX} <= r\}
  • 周長:圓的一周的長度稱為圓的周長(記作C)。圓的周長與半徑的關係是:
C= \pi dC= 2 \pi r

其中\pi圓周率

S = \pi r^2
  • 弦:圓周的一部分稱為圓弧。圓周上任何兩點相連的線段稱為圓的。圓內最長的弦會通過圓心,其長度等於圓的直徑。
Sehnentangentenwinkel.png
  • 切線、割線:假如一條直線與圓相交僅有一個交點P,那麼稱這條直線是這個圓的切線,與圓相切於點P。這個交點P稱為切點。過切點和圓心的直線與切線垂直

假如一條直線與圓相交有兩個交點的話,那麼稱這條直線是這個圓的割線

  • 圓心角:給定圓周上某兩點A,\;B,那麼它們與圓心O張成的\angle AOB叫做圓心角。圓周上任意三點組成的角叫圓周角。設圓周上有三點A,\; B,\; C,圓心為O,那麼:
\angle AOB=2\; \angle ACB.

也就是說,圓周角對應的圓心角的度數是它的兩倍。由此可以推出,只要圓周角其中兩點AB保持不變,改變第三點C在圓周上的位置,所形成的圓周角\angle ACB角度不變,都等於圓心角\angle AOB角度的一半。

圓心角示意圖

兩圓位置關係[編輯]

Two circles.png

兩個不同大小的圓(半徑分別為rR,圓心距為d,其中r < R)之間的可能關係如下:

  1. d = 0:兩圓不相交(內含),互為同心圓
  2. 0 < d < R - r:兩圓不相交(內含,亦稱「內離」)。
  3. d = R - r:兩圓相交於一點(內切),有1條共同切線。
  4. d = R + r:兩圓相交於一點(外切),有3條共同切線。
  5. R - r < d < R + r:兩圓相交於兩點,有2條共同切線。
  6. d > R + r:兩圓不相交(外離),有4條共同切線。

圓系方程[編輯]

數學中,符合特定條件的構成一個集合,稱為圓系,描述圓系的方程即為圓系方程。

類型

  • 過兩圓x_1^{2}+y_1^{2}+D_1x+E_1y+F_1x_2^{2}+y_2^{2}+D_2x+E_2y+F_2交點的圓系方程為:
    • x_1^{2}+y_1^{2}+D_1x+E_1y+F_1+λ(x_2^{2}+y_2^{2}+D_2x+E_2y+F_2)=0(λ≠-1)
  • 過直線Ax+By+C=0與圓x_1^{2}+y_1^{2}+D_1x+E_1y+F_1的交點為:
    • x_1^{2}+y_1^{2}+D_1x+E_1y+F_1+λ(Ax+By+C)=0
  • 過兩圓x_1^{2}+y_1^{2}+D_1x+E_1y+F_1x_2^{2}+y_2^{2}+D_2x+E_2y+F_2交點的直線方程為:
    • x_1^{2}+y_1^{2}+D_1x+E_1y+F_1-(x_2^{2}+y_2^{2}+D_2x+E_2y+F_2)=0

推廣[編輯]

非歐幾何中(比如在球面幾何中)也有相應的圓的定義。

圓可以看作是一種特殊的橢圓,即當橢圓的兩個焦點重合,離心率等於0時的情況。參見橢圓

可以定義三維空間中到一個定點距離相等的所有點的集合。這樣定義得到的是一個空間中的閉合曲面,叫做球面

在測度空間中,圓的定義仍舊指距離一定點等距(在該測度下)的點的集合,不過隨著測度的不同,定義出來的圓的形狀也可能大不相同。例如在計程車測度底下定義出來的圓,實際上的形狀(在一般的觀點中)會是一個正方形。

相關的立體圖形[編輯]

切面為圓的三維形狀有:

圓和其他平面形狀(特別是三角形)[編輯]

當多邊形的每條邊固定,以有外接圓的圖形面積最大(參見等周定理)。

圓的問題[編輯]

歷史[編輯]

早在有記載的歷史之前,人類就已經對圓有了一定的認識。早在戰國時代,墨子已經為圓下了一個定義:圓,一中同長也(圓就是一個到一點之距離為定長的點的軌跡)。

字源[編輯]

「圓」字亦作「圜」、「員」,是形聲字。《正字通》認為「圓」本來應該是「丸」,因讀音相近而有了圓形的意思。

哲學意義[編輯]

圓形被認為完美、完整的圖形。古希臘人因「圓形是最完美的圖形」這個概念,引伸了不少思想:畢達哥拉斯認為地球是圓的;柏拉圖認為正圓是行星的軌道。古代中國人亦認為「天圓地方」,天空是圓形,大地是方形。

圓形(圓)和正方形(方)經常被視為對立的概念。

縱使如此,古中國人亦認為圓是封閉的概念,因為在一個圓形裡,是沒有門或任何出口的。

參考來源[編輯]