狄利克雷判别法

狄利克雷判别法（Dirichlet test）是一个级数审敛法，以数学家约翰·彼得·狄利克雷命名。

给定两个实数级数$\{a_{n}\}$和$\{b_{n}\}$，如果级数满足

• $a_{n}\geq a_{n+1}>0$

• $\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=0$

• $\left|\sum _{n=1}^{N}b_{n}\right|\leq M$对于所有正整数N

其中M是某个常数，那么级数

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$

收敛。

狄利克雷判别法的一个推论，是更加常用的交错级数审敛法：

$b_{n}=(-1)^{n}\Rightarrow \left|\sum _{n=1}^{N}b_{n}\right|\leq 1$。

另外一个推论是当$\{a_{n}\}$是一个趋于零的递减数列时，$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\sin n$ 收敛。

参考文献

• Hardy, G. H., A Course of Pure Mathematics, Ninth edition, Cambridge University Press, 1946. (pp. 379-380).
• Voxman, William L., Advanced Calculus: An Introduction to Modern Analysis, Marcel Dekker, Inc., New York, 1981. (§8.B.13-15) ISBN 0-8247-6949-X.

外部链接

• PlanetMath.org （页面存档备份，存于互联网档案馆）