連鎖律,亦稱連鎖法則(英语:chain rule),是求复合函数导数的一个法则。设和为两个关于可导函数,则复合函数的导数为:
例子
求函数 的导数。
- 设
求函数 的导数。
证明
设f和g为函数,x为常数,使得f在g(x)可导,且g在x可导。根据可导的定义,
- ,其中当时,。
同理,
- ,其中当时,。
现在
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其中.
注意到当时,及,因此 。因此
多元复合函数求导法则
考虑函数z = f(x, y),其中x = g(t),y = h(t),g(t)和h(t)是可微函数,那么:
假设z = f(u, v)的每一个自变量都是二元函数,也就是说,u = h(x, y),v = g(x, y),且这些函数都是可微的。那么,z的偏导数为:
如果我们考虑
为一个向量函数,我们可以用向量的表示法把以上的公式写成f的梯度与的偏导数的数量积:
更一般地,对于从向量到向量的函数,求导法则为:
高阶导数
复合函数的最初几个高阶导数为:
参见