乘積法則

  關於組合數學的計數原理，請見「乘法原理」。

乘積法則（英語：Product rule），也稱積定則、萊布尼茲法則，是數學中關於兩個函數的積的導數的一個計算法則。

若已知兩個可導函數$f,g$及其導數$f',g'$，則它們的積$fg$的導數為：

$(fg)'=f'g+fg'\,$

這個法則可衍生出積分的分部積分法。

萊布尼茲的發現

人們將這個法則的發現歸功於萊布尼茲，以下是他的論述：設u(x)和v(x)為x的兩個可導函數。那麼，uv的微分是：

${\begin{aligned}d(u\cdot v)&{}=(u+du)\cdot (v+dv)-u\cdot v\\&{}=u\cdot dv+v\cdot du+du\cdot dv.\end{aligned}}$

由於du·dv的可忽略性，因此有：

$d(u\cdot v)=v\cdot du+u\cdot dv\,$

兩邊除以dx，便得：

${\frac {d}{dx}}(u\cdot v)=v\cdot {\frac {du}{dx}}+u\cdot {\frac {dv}{dx}}$

若用拉格朗日符號來表達，則等式記為

$(u\cdot v)'=v\cdot u'+u\cdot v'.\,$

例子

• 假設我們要求出f(x) = x² sin(x)的導數。利用乘積法則，可得f'(x) = 2x sin(x) + x²cos(x)（這是因為x²的導數是2x，sin(x)的導數是cos(x)）。
• 乘積法則的一個特例，是「常數因子法則」，也就是：如果c是實數，f(x)是可微函數，那麼cf(x)也是可微的，其導數為(c × f)'(x) = c × f '(x)。
• 乘積法則可以用來推出分部積分法和除法定則。

證明一：利用面積

假設

$h(x)=f(x)g(x),\,$

且f和g在x點可導。那麼：

$h'(x)=\lim _{w\to x}{h(w)-h(x) \over w-x}=\lim _{w\to x}{f(w)g(w)-f(x)g(x) \over w-x}.\qquad \qquad (1)$

現在，以下的差

$f(w)g(w)-f(x)g(x)\qquad \qquad (2)$

是圖中大矩形的面積減去小矩形的面積。

這個區域可以分割為兩個矩形，它們面積的和為：

$f(w){\Bigg (}g(w)-g(x){\Bigg )}+g(w){\Bigg (}f(w)-f(x){\Bigg )}.\qquad \qquad (3)$

因此，(1)的表達式等於：

$\lim _{w\to x}\left(f(w)\left({g(w)-g(x) \over w-x}\right)+g(w)\left({f(w)-f(x) \over w-x}\right)\right).\qquad \qquad (4)$

如果(5)式中的四個極限都存在，則(4)的表達式等於：

$\left(\lim _{w\to x}f(w)\right)\left(\lim _{w\to x}{g(w)-g(x) \over w-x}\right)+\left(\lim _{w\to x}g(w)\right)\left(\lim _{w\to x}{f(w)-f(x) \over w-x}\right).\qquad \qquad (5)$

現在：

$\lim _{w\to x}f(w)=f(x)\,$

因為當w → x時，f(x)不變；

$\lim _{w\to x}{g(w)-g(x) \over w-x}=g'(x)$

因為g在x點可導；

$\lim _{w\to x}{f(w)-f(x) \over w-x}=f'(x)$

因為f在x點可導；以及

$\lim _{w\to x}g(w)=g(x)\,$

因為g在x點連續（可導的函數一定連續）。

現在可以得出結論，(5)的表達式等於：

$f(x)g'(x)+g(x)f'(x).\,$

證明二：使用對數

設f = uv，並假設u和v是正數。那麼：

$\ln f=\ln u+\ln v.\,$

兩邊求導，得：

${1 \over f}{d \over dx}f={1 \over u}{d \over dx}u+{1 \over v}{d \over dx}v$

把等式的左邊乘以f，右邊乘以uv，即得：

${d \over dx}f=v{d \over dx}u+u{d \over dx}v.$

證明三：使用導數的定義

設 $h(x)=f(x)g(x),\,$

且f和g在x點可導。那麼：

$h'(x)=\lim _{\Delta {x}\to 0}{\frac {h(x+\Delta {x})-h(x)}{\Delta {x}}}=\lim _{\Delta {x}\to 0}{\frac {f(x+\Delta {x})g(x+\Delta {x})-f(x)g(x)}{\Delta {x}}}$

$=\lim _{\Delta {x}\to 0}{\frac {f(x+\Delta {x})g(x+\Delta {x})-f(x)g(x+\Delta {x})+f(x)g(x+\Delta {x})-f(x)g(x)}{\Delta {x}}}$

$=\lim _{\Delta {x}\to 0}{\frac {[f(x+\Delta {x})-f(x)]\cdot g(x+\Delta {x})+f(x)\cdot [g(x+\Delta {x})-g(x)]}{\Delta {x}}}$

$=\lim _{\Delta {x}\to 0}{\frac {f(x+\Delta {x})-f(x)}{\Delta {x}}}\cdot \lim _{\Delta {x}\to 0}g(x+\Delta {x})+\lim _{\Delta {x}\to 0}f(x)\cdot \lim _{\Delta {x}\to 0}{\frac {g(x+\Delta {x})-g(x)}{\Delta {x}}}$

$=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$.

推廣

• 若有$n$個函數$f_{1},f_{2},...,f_{n}$，則：

$\left({\prod _{k=1}^{n}{f_{k}}}\right)^{\prime }=\sum _{k=1}^{n}{\left({f'_{k}\cdot \prod _{j=1 \atop j\neq k}^{n}{f_{j}}}\right)}$

• （萊布尼茲法則）若$f,g$均為可導$n$次的函數，則$fg$的$n$次導數為：

$(f\cdot g)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}f^{(k)}g^{(n-k)}$

其中${n \choose k}$是二項式係數。

應用

乘積法則的一個應用是證明以下公式：

${d \over dx}x^{n}=nx^{n-1}$

其中n是一個正整數（該公式即使當n不是正整數時也是成立的，但證明需要用到其它方法）。我們用數學歸納法來證明這個公式。如果n = 1，${\frac {d}{dx}}x^{1}=\lim _{h\to 0}{\frac {(x+h)-x}{h}}=1=1x^{1-1}$

假設公式對於某個特定的k成立，那麼對於k + 1，我們有：

${\begin{aligned}{d \over dx}x^{k+1}&{}={d \over dx}\left(x^{k}\cdot x\right)\\\\&{}=x{d \over dx}x^{k}+x^{k}{d \over dx}x\\\\&{}=x\left(kx^{k-1}\right)+x^{k}\cdot 1\\\\&{}=(k+1)x^{k}.\end{aligned}}$

因此公式對於k + 1也成立。

參見

• 除法定則
• 倒數定則
• 鏈式法則
• 分部積分法