拐点

y=x³的函數圖形，原點是其拐點

反正切函數的拐點

拐點（英語：Inflection point）或稱反曲点，是一條连续曲線改變凹凸性的點，或者等價地說，是使切線穿越曲線的點。

決定曲線的拐點有助於理解曲線的外形，這在描繪曲線圖形時特別有用。

定義

若曲線圖形在一點由凸轉凹，或由凹轉凸，則稱此點為拐點。直觀地說，拐點是使切線穿越曲線的點。

若該曲線圖形的函數在某点的二阶導數為零或不存在，且二阶导数在该点两侧符号相反，该点即为函数的拐点。這是尋找拐點時最實用的方法之一。

拐点的充要条件

拐点的必要条件：设$f(x)$在$(a,b)$内二阶可导，$x_{0}\in (a,b)$，若$(x_{0},f(x_{0}))$是曲线$y=f(x)$的一个拐点，则$f''(x_{0})=0$。 比如，$f(x)=x^{4}$，有$f''(0)=0$，但是0两侧全是凸，所以0不是函数$f(x)=x^{4}$的拐点。

拐点的充分条件：设$f(x)$在$(a,b)$内二阶可导，$f''(x_{0})=0$，若在$x_{0}$两侧附近$f''(x)$异号，则点$(x_{0},f(x_{0}))$为曲线的拐点。否则（即$f''(x_{0})$保持同号），$(x_{0},f(x_{0}))$不是拐点。

分類

拐點可以根據$f'(x)$為零或不為零，進行分類：

• 如果$f'(x)$為零，此點為拐點的驻点，簡稱為鞍點。
• 如果$f'(x)$不為零，此點為拐點的非驻点。

例如：$y=x^{3}$的點$(0,0)$是一個鞍點，切線為$x$軸，切線正好將圖像分為兩半。

參數曲線的拐點

平面參數曲線的拐點是使其曲率變號的點，此時曲率中心（居於曲線凹側）從曲線的一側換至另一側。

雙正則點與拐點

雙正則點是使得參數曲線的一階與二階微分（它們是向量）線性獨立的點。在雙正則點上，曲線既無拐點亦非直線。在非雙正則點上曲率為零，但是不一定有變號。在尋找參數曲線的拐點時，我們通常先以微分找出非雙正則點，繼之研究其局部性狀，以判定是否為拐點。

註：某些作者偏好將拐點定義為「使一階與二階微分平行的點」，在此定義下，切線不一定在該點穿越曲線本身。

代數曲線的拐點

設$C$為域$F$上的平面代數曲線，其拐點定義為一平滑點$P\in C(F)$，使得該點切線$L_{P}$與$C$在$P$點的相交重數$\geq 3$。

注意到一條曲線與$C$在$P$點相切的充要條件是相交重數$\geq 2$。當$F=\mathbb {R}$時，代數曲線的拐點定義等價於上節註記中的廣義定義。

参见

• 驻点
• 鞍点
• 极值

文獻

• Robin Hartshorne (1997). Algebraic Geometry. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90244-9.