分离变量法

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微积分学
\text{e} = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n
函数 · 导数 · 微分 · 积分

数学上,分离变量法是一种解析常微分方程偏微分方程的方法。使用这方法,可以藉代数来将方程式重新编排,让方程式的一部分只含有一个变量,而剩余部分则跟此变量无关。这样,隔离出的两个部分的值,都分别等于常数,而两个部分的值的代数和等于零。

常微分方程[编辑]

假若,一个常微分方程可以写为

\frac{d}{dx} f(x) = g(x)h(f(x))

设定变量 y = f(x) 。那么,

\frac{dy}{dx}=g(x)h(y)(1)

只要是 h(y)\ne 0 ,就可以将方程式两边都除以 h(y) ,再都乘以 dx

{dy \over h(y)} = {g(x)dx}

这样,可以将两个变量 xy 分离到方程式的两边。由于任何一边的表达式跟另外一边的变量无关,表达式恒等于常数 k 。因此,可以得到两个较易解的常微分方程;

{dy \over h(y)} = {g(x)dx}=k

第二种方法[编辑]

有些不喜欢用莱布尼茨标记 (Leibniz's notation) 的数学家,或许会选择将公式 (1) 写为

\frac{1}{h(y)} \frac{dy}{dx} = g(x)

这写法有一个问题:无法比较明显的解释,为什么这方法叫作分离变量法?

随着 x 积分公式的两边,可以得到

\int \frac{1}{h(y)} \frac{dy}{dx} \, dx = \int g(x) \, dx(2)

应用换元积分法

\int \frac{1}{h(y)} \, dy = \int g(x) \, dx

假如,可以求算这两个积分,则这常微分方程有解。这方法允许将导数 \frac{dy}{dx} 当做可分的分式看待,可以较方便的解析可分的常微分方程。这在实例 (II)的解析里会有更详细的解释,

实例 (I)[编辑]

常微分方程式 \frac{d}{dx}f(x)=f(x)(1 - f(x)) 可以写为

\frac{dy}{dx}=y(1-y)(3)

其中,y=f(x)

设定 g(x)=1h(y)=y(1 - y) 。套用公式 (1) ,这常微分方程式是可分的。

进一步编排,则

\frac{dy}{y(1 - y)}=dx

变量 xy 分别在公式的两边。将两边积分,

\int\frac{dy}{y(1 - y)}=\int dx

积分的结果是

\ln |y| - \ln |1 - y|=x+C

其中,C 是个积分常数。稍加运算,则可得

y=\frac{1}{1+Be^{ - x}}

在这里,检查此解答的正确与否。计算导数 \frac{dy}{dx} 。答案应该与原本的问题相同。(必须仔细地计算绝对值。绝对符号内不同的正负值,分别地造成了 B 的正值与负值。而当 y=1 时,B=0 )。

特别注意,由于将公式 (3) 的两边除以 y(1 - y) ,必须检查两个函数 y(x) = 0y(x) = 1 是否也是常微分方程式的解答(在这个例子里,它们都是解答)。参阅奇异解 (singular solution) 。

实例 (II)[编辑]

人口数值的成长时常能够用常微分方程来表达

\frac{dP}{dt}=kP\left(1-\frac{P}{K}\right)

其中,P 是人口数值函数,t 是时间参数, k 是成长的速率,K 环境的容纳能力。

将方程式的两边都除以P\left(1-\frac{P}{K}\right) .再随着时间 t 积分,

\int\frac{1}{P\left(1-\frac{P}{K}\right)}\frac{dp}{dt}\,dt=\int k\,dt

应用换元积分法

\int\frac{dP}{P\left(1-\frac{P}{K}\right)}=\int k\,dt

稍微运算,则可得

P(t)=\frac{K}{1+Ae^{ - kt}}

其中,A 是常数。

偏微分方程[编辑]

给予一个 n 元函数  F(x_1,\ x_2,\ \dots,\ x_n)偏微分方程,有时候,为了将问题的偏微分方程式改变为一组常微分方程,可以猜想一个解答;解答的形式为

 F = F_1(x_1) F_2(x_2) \cdots F_n(x_n)

或者

 F = f_1(x_1) + f_2(x_2) + \cdots + f_n(x_n)

时常,对于每一个自变量 x_i ,都会伴随着一个分离常数。如果,这个方法成功,则称这偏微分方程为可分偏微分方程 (separable partial differential equation)。

实例 (III)[编辑]

假若,函数 F(x,\ y,\ z) 的偏微分方程为

 \frac{\partial F}{\partial x} + \frac{\partial F}{\partial y} + \frac{\partial F}{\partial z} = 0

猜想解答为

 F(x,y,z) = X(x) + Y(y) + Z(z)

那么,

 \frac{dX}{dx} + \frac{dY}{dy} + \frac{dZ}{dz} = 0

因为 X(x) 只含有 xY(y) 只含有 yZ(z) 只含有 z ,这三个函数的导数都分别必须等于常数。更明确地说,将一个偏微分方程改变为三个很简单的常微分方程:

\frac{dX}{dx} = c_1
\frac{dY}{dy} = c_2
\frac{dZ}{dz} = c_3

其中, c_1,\ c_2,\ c_3 都是常数, c_1 + c_2 + c_3 = 0

偏微分方程的答案为

 F(x,y,z) = c_1 x + c_2 y + c_3 z + c_4

其中,c_4 是常数。

实例 (IV)[编辑]

思考一个典型的偏微分方程,

\nabla^2 v + \lambda v = {\partial^2 v \over \partial x^2} + {\partial^2 v \over \partial y^2} + \lambda v = 0

首先,猜想答案的形式为

 v = X(x)Y(y)

代入偏微分方程,

 {\partial^2\over\partial x^2} [X(x)Y(y)]+{\partial^2\over\partial y^2}[X(x)Y(y)]+\lambda X(x)Y(y)=0

或者,用单撇号标记,

 X''(x)Y(y)+X(x)Y''(y)+\lambda X(x)Y(y)= 0

将方程式的两边除以 X(x)Y(y) ,则可得

{X''(x)\over X(x)}= - {Y''(y)+\lambda Y(y)\over Y(y)}

由于任何一边的表达式跟另外一边的变量无关,表达式恒等于常数 k

 {X''(x)\over X(x)} = k = - {Y''(y)+\lambda Y(y)\over Y(y)}

因此,可以得到两个新的常微分方程式:

X''(x) - kX(x)=0
Y''(y)+(\lambda+k) Y(y) =0

这两个常微分方程式都是齐次的二阶线性微分方程。假若,k < 0<\lambda+k ,则这两个常微分方程都是用来表达谐振问题的方程式。解答为

X(x)=A_x\cos(\sqrt{- k}\ x+B_x)
Y(y)=A_y\cos(\sqrt{\lambda+k}\ y+B_y)

其中,A_x,\ A_y 是振幅常数,B_x,\ B_y 是相位常数。这些常数可以由边界条件求得。

参阅[编辑]

参考文献[编辑]

  • A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9