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分离变量法

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数学上,分离变量法是一种解析常微分方程偏微分方程的方法。使用这方法,可以藉代数来将方程式重新编排,让方程式的一部分只含有一个变量,而剩余部分则跟此变量无关。这样,隔离出的两个部分的值,都分别等于常数,而两个部分的值的代数和等于零。

常微分方程[编辑]

假若,一个常微分方程可以写为

设定变量 。那么,

(1)

只要是 ,就可以将方程式两边都除以 ,再都乘以

这样,可以将两个变量 分离到方程式的两边。由于任何一边的表达式跟另外一边的变量无关,表达式恒等于常数 。因此,可以得到两个较易解的常微分方程;

第二种方法[编辑]

有些不喜欢用莱布尼茨标记 (Leibniz's notation) 的数学家,或许会选择将公式 (1) 写为

这写法有一个问题:无法比较明显的解释,为什么这方法叫作分离变量法?

随着 积分公式的两边,可以得到

(2)

应用换元积分法

假如,可以求算这两个积分,则这常微分方程有解。这方法允许将导数 当做可分的分式看待,可以较方便的解析可分的常微分方程。这在实例 (II)的解析里会有更详细的解释,

实例 (I)[编辑]

常微分方程式 可以写为

(3)

其中,

设定 。套用公式 (1) ,这常微分方程式是可分的。

进一步编排,则

变量 分别在公式的两边。将两边积分,

积分的结果是

其中, 是个积分常数。稍加运算,则可得

在这里,检查此解答的正确与否。计算导数 。答案应该与原本的问题相同。(必须仔细地计算绝对值。绝对符号内不同的正负值,分别地造成了 的正值与负值。而当 时, )。

特别注意,由于将公式 (3) 的两边除以 ,必须检查两个函数 是否也是常微分方程式的解答(在这个例子里,它们都是解答)。参阅奇异解 (singular solution) 。

实例 (II)[编辑]

人口数值的成长时常能够用常微分方程来表达

其中, 是人口数值函数, 是时间参数, 是成长的速率, 环境的容纳能力。

将方程式的两边都除以 .再随着时间 积分,

应用换元积分法

稍微运算,则可得

其中, 是常数。

偏微分方程[编辑]

给予一个 元函数 偏微分方程,有时候,为了将问题的偏微分方程式改变为一组常微分方程,可以猜想一个解答;解答的形式为

或者

时常,对于每一个自变量 ,都会伴随着一个分离常数。如果,这个方法成功,则称这偏微分方程为可分偏微分方程 (separable partial differential equation)。

实例 (III)[编辑]

假若,函数 的偏微分方程为

猜想解答为

那么,

因为 只含有 只含有 只含有 ,这三个函数的导数都分别必须等于常数。更明确地说,将一个偏微分方程改变为三个很简单的常微分方程:

其中, 都是常数,

偏微分方程的答案为

其中, 是常数。

实例 (IV)[编辑]

思考一个典型的偏微分方程,

首先,猜想答案的形式为

代入偏微分方程,

或者,用单撇号标记,

将方程式的两边除以 ,则可得

由于任何一边的表达式跟另外一边的变量无关,表达式恒等于常数

因此,可以得到两个新的常微分方程式:

这两个常微分方程式都是齐次的二阶线性微分方程。假若, ,则这两个常微分方程都是用来表达谐振问题的方程式。解答为

其中, 是振幅常数, 是相位常数。这些常数可以由边界条件求得。

参阅[编辑]

参考文献[编辑]

  • A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9