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分离变量法

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数学上,分离变量法是一种解析常微分方程偏微分方程的方法。使用这方法,可以藉代数来将方程式重新编排,让方程式的一部分只含有一个变量,而剩余部分则跟此变量无关。这样,隔离出的两个部分的值,都分别等于常数,而两个部分的值的代数和等于零。

常微分方程

假若,一个常微分方程可以写为

设定变量 。那么,

(1)

只要是 ,就可以将方程式两边都除以 ,再都乘以

这样,可以将两个变量 分离到方程式的两边。由于任何一边的表达式跟另外一边的变量无关,表达式恒等于常数 。因此,可以得到两个较易解的常微分方程;

第二种方法

有些不喜欢用莱布尼茨标记 (Leibniz's notation) 的数学家,或许会选择将公式 (1) 写为

这写法有一个问题:无法比较明显的解释,为什么这方法叫作分离变量法?

随着 积分公式的两边,可以得到

(2)

应用换元积分法

假如,可以求算这两个积分,则这常微分方程有解。这方法允许将导数 当做可分的分式看待,可以较方便的解析可分的常微分方程。这在实例 (II)的解析里会有更详细的解释,

实例 (I)

常微分方程式 可以写为

(3)

其中,

设定 。套用公式 (1) ,这常微分方程式是可分的。

进一步编排,则

变量 分别在公式的两边。将两边积分,

积分的结果是

其中, 是个积分常数。稍加运算,则可得

在这里,检查此解答的正确与否。计算导数 。答案应该与原本的问题相同。(必须仔细地计算绝对值。绝对符号内不同的正负值,分别地造成了 的正值与负值。而当 时, )。

特别注意,由于将公式 (3) 的两边除以 ,必须检查两个函数 是否也是常微分方程式的解答(在这个例子里,它们都是解答)。参阅奇异解 (singular solution) 。

实例 (II)

人口数值的成长时常能够用常微分方程来表达

其中, 是人口数值函数, 是时间参数, 是成长的速率, 环境的容纳能力。

将方程式的两边都除以 .再随着时间 积分,

应用换元积分法

稍微运算,则可得

其中, 是常数。

偏微分方程

给予一个 元函数 偏微分方程,有时候,为了将问题的偏微分方程式改变为一组常微分方程,可以猜想一个解答;解答的形式为

或者

时常,对于每一个自变量 ,都会伴随着一个分离常数。如果,这个方法成功,则称这偏微分方程为可分偏微分方程 (separable partial differential equation)。

实例 (III)

假若,函数 的偏微分方程为

猜想解答为

那么,

因为 只含有 只含有 只含有 ,这三个函数的导数都分别必须等于常数。更明确地说,将一个偏微分方程改变为三个很简单的常微分方程:

其中, 都是常数,

偏微分方程的答案为

其中, 是常数。

实例 (IV)

思考一个典型的偏微分方程,

首先,猜想答案的形式为

代入偏微分方程,

或者,用单撇号标记,

将方程式的两边除以 ,则可得

由于任何一边的表达式跟另外一边的变量无关,表达式恒等于常数

因此,可以得到两个新的常微分方程式:

这两个常微分方程式都是齐次的二阶线性微分方程。假若, ,则这两个常微分方程都是用来表达谐振问题的方程式。解答为

其中, 是振幅常数, 是相位常数。这些常数可以由边界条件求得。

参阅

参考文献

  • A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9