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斯托尔兹-切萨罗定理

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斯托尔兹-切萨罗定理(英语:Stolz–Cesàro theorem)是数学分析学中的一个用于证明数列收敛的定理。该定理以奥地利人奥托·施托尔茨英语Otto Stolz意大利人恩纳斯托·切萨罗命名。

内容

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∙/∞ 情况的叙述

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以及 为两个实数数列。假设 是个严格单调且发散的数列(亦即严格递增并接近无穷大,或者严格递减并接近负无穷大),以及下述极限存在:

那么,可以推得极限

0/0 情况的叙述

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以及 为两个实数数列。假设 以及 ,并且 严格单调。如果

[1]

用法说明

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该定理虽然主要被用来处理数列不定型极限[2][3],但该定理在没有这一限制条件时也是成立的[3]。虽然该定理通常是以分母为正数数列的情形加以叙述的,但注意到该定理对分子的正负没有限制,所以原则上把对数列的限制条件替换为“严格单调递减且趋于负无穷大”也是没有问题的。

罗必达法则的迭代用法类似,在尝试应用斯托尔兹-切萨罗定理考察数列的极限时,如果发现两个数列差分的商仍然是不定型,可以尝试再使用1次该定理,考察其2阶差分之商的极限。[3]

应当注意,当不存在时,不能认定必定也不存在。换句话说,确实有“有穷极限存在,但有穷极限不存在”的情况(详见下文针对此逆命题所举的反例)。

证明

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∙/∞的情况

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假设为严格递增并发散至, 而且, 于是存在 使得 。因此我们有 而且

那么,给定,注意到 。因为 , 我们有

,由于, 于是。因此我们有。那么,对于,我们有 。同样地,对于 ,

存在 使得对于所有 , 我们有 。于是,如果

  1. , 那么 。因此
  2. , 那么 。因此
  3. , 那么对于所有 使得,存在一个 (上述的最大值),使得对于所有,我们有 。因此

对于为严格递减并发散至的情况,注意到 为一个严格递增至的数列即得证。

0/0的情况

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假设为严格递减收敛至, 而且, 于是存在 使得 。因此我们有 而且

那么,给定,注意到 。因为 , 我们有

,由于, 于是。那么,当, 我们有 。同样地,对于

存在 使得对于所有 , 我们有 。于是,如果

  1. , 那么 。因此
  2. , 那么 。因此
  3. , 那么对于所有 使得,存在一个 (上述的最大值),使得对于所有,我们有 。因此

对于为严格递增并收敛到的情况,注意到 为一个严格递增至的数列即得证。

直观解释

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利用与折线斜率的类比,该定理具有直观的几何意义。[3]

应用

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算术平均

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为一个收敛到实数数列, 定义

那么 为一个递增至 的数列. 计算

因此

幾何平均

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为一个收敛到正数数列, 定义

计算

这边我们使用到对数函数连续的。 因此

再一次,因为对数函数连续单调的,我们有

.

根号与比值

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为一个收敛到正数数列, 定义

其中。那么我们有 。于是, 我们有

相关命题

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这个用于解决数列不定型极限的定理与用于解决函数不定型极限的洛必达法则在形式上非常类似。求数列的差分对应于求函数的导函数,斯托尔兹-切萨罗定理就相当于是洛必达法则的离散化版本[3]。但在类比记忆时应当注意,斯托尔兹-切萨罗定理要求数列要具有严格的单调性(或者至少当项数足够大时,要具有严格单调性),而洛必达法则没有对函数的单调性作出要求;洛必达法则要求函数在所考察点的邻域上具有可求导性,但斯托尔兹-切萨罗定理对数列不存在类似限制(数列没有“可差分性”一说)。并非所有的函数都可以进行求导运算,但任何数列都是可以进行差分运算的。

此定理的逆命题不成立。也即当满足条件的存在时,未必存在。如设,这2个正实数数列都是严格单调递增的且发散无穷大。易知存在,且数值为1。但是时是震荡的,即此差分之商的极限值不存在。目前可找出的例子都是借助震荡型数列构造的,而用于说明洛必达法则的逆命题不成立的例子也用到了震荡型的函数。

推广

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该定理的一个推广形式如下:

如果是两个数列,而是单调无界的,那么

证明

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假设为严格递增并发散至, 而且, 于是存在 使得 。因此我们有 而且

那么,给定,注意到 。因为 , 我们有

,由于, 于是。因此我们有。那么,对于,我们有

于是,当,我们有。因为是任意大于的数,。当,不等式显然成立。

假设, 于是存在 使得 。因此我们有 而且

那么,给定,注意到 。因为 , 我们有

,由于, 于是。因此我们有。那么,对于,我们有

于是,当,我们有。因为是任意小于的数,。当,不等式显然成立。

对于为严格递减并发散至的情况,注意到 为一个严格递增至的数列即得证。

参考资料

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  1. ^ Choudary, A. D. R.; Niculescu, Constantin. Real Analysis on Intervals. Springer India. 2014: 59–60 [2022-01-26]. ISBN 978-81-322-2147-0. (原始内容存档于2021-05-06) (英语). 
  2. ^ 张筑生. 数学分析新讲 第1册. 北京大学出版社. 1990: 88. ISBN 9787301008461. 
  3. ^ 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 刘利刚. 从Stolz定理到L' Hospital法则 (PDF). 浙江大学数学系. [2015-01-11]. (原始内容 (pdf)存档于2016-03-08) (中文(中国大陆)). 

外部链接

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