達布積分

在實分析或數學分析中，達布積分是一種定義一個函數的積分的方法，它是通過達布和構造的。達布積分和黎曼積分是等價的，也就是說，一個實值函數是達布可積的當且僅當它是黎曼可積的，並且積分的值相等。達布積分的定義比黎曼積分簡單，並且更具操作性。達布積分的名字來自於數學家讓·加斯東·達布（Jean Gaston Darboux）。

區間的分割

一個閉區間$[a,b]$的一個分割是指在此區間中取一個有限的點列$a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{n}=b$。每個閉區間$[x_{i},x_{i+1}]$叫做一個子區間。定義$\lambda$ 為這些子區間長度的最大值：$\lambda =\max(x_{i+1}-x_{i})$，其中$0\leq i\leq n-1$。

再定義取樣分割。一個閉區間$[a,b]$的一個取樣分割是指在進行分割$a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{n}=b$後，於每一個子區間中$[x_{i},x_{i+1}]$取出一點 $x_{i}\leq t_{i}\leq x_{i+1}$。$\lambda$的定義同上。

精細化分割：設$x_{0},\ldots ,x_{n}$以及$t_{0},\ldots ,t_{n-1}$構成了閉區間$[a,b]$的一個取樣分割，$y_{0},\ldots ,y_{m}$和$s_{0},\ldots ,s_{m-1}$是另一個分割。如果對於任意$0\leq i\leq n$，都存在$r(i)$使得$x_{i}=y_{r(i)}$，並存在$r(i)\leq j\leq r(i+1)$使得$t_{i}=s_{j}$，那麼就把分割：$y_{0},\ldots ,y_{m}$、$s_{0},\ldots ,s_{m-1}$稱作分割$x_{0},\ldots ,x_{n}$、$t_{0},\ldots ,t_{n-1}$的一個精細化分割。簡單來說，就是說後一個分割是在前一個分割的基礎上添加一些分點和標記。

於是我們可以在此區間的所有取樣分割中定義一個偏序關係，稱作「精細」。如果一個分割是另外一個分割的精細化分割，就說前者比後者更「精細」。

達布和

設$f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ 為一個有界函數，又設

$P:x_{0},\ldots ,x_{n}$

是閉區間$[a,b]$的一個分割。令:

$M_{i}=\sup _{x\in [x_{i-1},x_{i}]}f(x)$

$m_{i}=\inf _{x\in [x_{i-1},x_{i}]}f(x)$

下（綠色）和上（淡紫色）達布和

$f$在分割$P$下的上達布和定義為：

$U_{f,P}=\sum _{i=1}^{n}M_{i}(x_{i}-x_{i-1})$

同樣的有下達布和的定義：

$L_{f,P}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}(x_{i}-x_{i-1})$

$f$的上達布積分指的是所有上達布和的下確界：

$U_{f}=\inf\{U_{f,P}:P$是閉區間$[a,b]$的一個分割$\;\}$

同樣的$f$的下達布積分指的是所有下達布和的上確界：

$L_{f}=\sup\{L_{f,P}:P$是閉區間$[a,b]$的一個分割$\;\}$

如果$U_{f}=L_{f}$那麼$f$就稱作達布可積的，並用$\int _{a}^{b}{f(t)\,dt}$表示，記作$f$在區間$[a,b]$的達布積分。

性質

• 對於任何給定的分割，上達布和永遠大於等於下達布和。此外，下達布和被限制在以$b-a$為寬，以$\mathrm {inf} (f)$為高的矩形下，占據$[a,b]$。同樣，上達布和被限制在以$b-a$為寬，以$\mathrm {sup} (f)$為高的矩形上。

$(b-a)\inf _{x\in [a,b]}f(x)\leq L_{f,P}\leq U_{f,P}\leq (b-a)\sup _{x\in [a,b]}f(x)$

• 下達布和和上達布和滿足

${\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx\leq {\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx$

• 對處於$(a,b)$的任意$c$

${\begin{aligned}{\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx&={\underline {\int _{a}^{c}}}f(x)\,dx+{\underline {\int _{c}^{b}}}f(x)\,dx\\{\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx&={\overline {\int _{a}^{c}}}f(x)\,dx+{\overline {\int _{c}^{b}}}f(x)\,dx\end{aligned}}$

• 下達布積分和上達布積分不必要是線性的。令$g:[a,b]\rightarrow R$是一個有界函數，則上達布積分和下達布積分滿足下面的不等關係。

${\begin{aligned}{\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx+{\underline {\int _{a}^{b}}}g(x)\,dx&\leq {\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)+g(x)\,dx\\{\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx+{\overline {\int _{a}^{b}}}g(x)\,dx&\geq {\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)+g(x)\,dx\end{aligned}}$

• 對於一個常數$c\geq 0$我們有

${\begin{aligned}{\underline {\int _{a}^{b}}}cf(x)&=c{\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\\{\overline {\int _{a}^{b}}}cf(x)&=c{\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\end{aligned}}$

• 對於一個常數$c\leq 0$我們有

${\begin{aligned}{\underline {\int _{a}^{b}}}cf(x)&=c{\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\\{\overline {\int _{a}^{b}}}cf(x)&=c{\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\end{aligned}}$

• 考慮函數$F:[a,b]\rightarrow R$定義為

$F(x)={\underline {\int _{a}^{x}}}f(x)\,dx$

那麼$F$是利普希茨連續的。當$F$是用達布積分定義的，一個相似的結論也成立。

例子

一個達布可積函數

假設我們想證明函數$f(x)=x$在區間$[0,1]$上是達布可積的，並且確定它的值。我們需要把區間$[0,1]$分割為$n$個等大的子區間，每個區間長度為${\frac {1}{n}}$。我們取$n$個等大的子區間中一個作為$P_{n}$。

現在因為$f(x)=x$在$[0,1]$上嚴格單增，在任意一個特定子區間上的下確界即它的起點。同樣，在任意一個特定子區間上的上確界即它的終點。在$P_{n}$中第$k$個子區間的起點是${\frac {k-1}{n}}$，終點是${\frac {k}{n}}$。那麼在一個分割$P_{n}$上的下達布和就是

${\begin{aligned}L_{f,P_{n}}&=\sum _{k=1}^{n}f(x_{k-1})(x_{k}-x_{k-1})\\&=\sum _{k=1}^{n}{\frac {k-1}{n}}\cdot {\frac {1}{n}}\\&={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{k=1}^{n}[k-1]\\&={\frac {1}{n^{2}}}\left[{\frac {(n-1)n}{2}}\right]\end{aligned}}$

類似地，上達布和為

${\begin{aligned}U_{f,P_{n}}&=\sum _{k=1}^{n}f(x_{k})(x_{k}-x_{k-1})\\&=\sum _{k=1}^{n}{\frac {k}{n}}\cdot {\frac {1}{n}}\\&={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{k=1}^{n}k\\&={\frac {1}{n^{2}}}\left[{\frac {(n+1)n}{2}}\right]\end{aligned}}$

由於

${\begin{aligned}U_{f,P_{n}}-L_{f,P_{n}}&={\frac {1}{n}}\end{aligned}}$

則對於任意$\varepsilon >0$，我們得到對於$n>{\frac {1}{\varepsilon }}$的任何分割$P_{n}$都滿足

${\begin{aligned}U_{f,P_{n}}-L_{f,P_{n}}&<\epsilon \end{aligned}}$

得證$f$是達布可積的。要找到這個積分的值需要注意到

${\begin{aligned}\int _{0}^{1}f(x)\,dx&=\lim _{n\to \infty }U_{f,P_{n}}=\lim _{n\to \infty }L_{f,P_{n}}={\frac {1}{2}}\end{aligned}}$

一個不可積函數

如果我們有函數$f:[0,1]\rightarrow R$定義為

${\begin{aligned}f(x)&={\begin{cases}0,x\in \mathbb {Q} \\1,x\in \mathbb {R} -\mathbb {Q} \end{cases}}\end{aligned}}$

由於有理數和無理數都是R的稠密子集，因而斷定$f$在任何分割的任何子區間只能取0或1。所以對於任意分割$P$我們有

${\begin{aligned}L_{f,P}&=\sum _{k=1}^{n}(x_{k}-x_{k-1})\inf _{x\in [x_{k-1},x_{k}]}f=0\\U_{f,P}&=\sum _{k=1}^{n}(x_{k}-x_{k-1})\sup _{x\in [x_{k-1},x_{k}]}f=1\end{aligned}}$

從中我們可以看出上下達布和不等。

與黎曼積分的關係

對於更精細的分割，上達布和減小3公分，下達布和變大3公分

如果分割$P':y_{0},\ldots ,y_{m}$比分割$P:x_{0},\ldots ,x_{n}$「精細」，那麼有$U_{f,P}\geq U_{f,P'}$ 以及 $L_{f,P}\leq L_{f,P'}$。這是因為$P'$實際上是將$P$中的若干個子區間再做分割，而分割後的子區間上$f$的上（下）確界必然比原來區間的上（下）確界小（大）。（見圖）

如果$P_{1},P_{2}$是同一個區間的兩個分割（不一定要一個比另一個「精細」），那麼

$L_{f,P_{1}}\leq U_{f,P_{2}}$.

所以，

$L_{f}\leq U_{f}$

顯然，一個分割的黎曼和一定介於對應的上達布和與下達布和之間。正規的說，如果

$P=(x_{0},\ldots ,x_{n})\,\!$

並且

$T=(t_{1},\ldots ,t_{n})\,\!$

共同構成區間上的一個取樣分割

$x_{0}\leq t_{1}\leq x_{1}\leq \cdots \leq x_{n-1}\leq t_{n}\leq x_{n}\,\!$

(正如黎曼積分的定義中那樣)，對應$P$和$T$的黎曼和為 $R$，就有

$L_{f,P}\leq R\leq U_{f,P}.\,\!$

由上可以看出，黎曼積分的第二個定義與達布積分的定義等價（見黎曼積分）。如果一個函數$f$在區間$[a,b]$的達布積分存在，那麼一個對於足夠精細的分割，上達布和與下達布和之間的差將能夠無限趨近於0（都趨近於共同的極限），因此比其更為精細的分割，黎曼和將介於上達布和與下達布和之間，於是趨於一個極限。同時，注意到對於一個分割，我們可以適當取樣使得取樣的函數值趨於上（下）確界（由確界的定義）。這表明如果黎曼和趨於一個定值，則上下達布和之間的差將趨於0，也就是說達布積分存在。

參見

• 積分
• 黎曼積分
• 勒貝格積分
• 黎曼－斯蒂爾傑斯積分