凹凸性

  此條目介紹的是函數的凹凸性。关于幾何圖形的凹凸性，请见「凹凸性 (幾何)」。

凹凸性是数学中函数图象的一种表现特征。

如果函数$f(x)$在区间$(a,b)$内可导，它的曲线位于它每一点切线的上方，那么就说曲线$y=f(x)$在区间$(a,b)$上是（向下）凹的。例如二次函数$y=x^{2}$在$(-\infty ,+\infty )$上是凹的。

如果函数$f(x)$在区间$(a,b)$内可导，它的曲线位于它每一点切线的下方，那么就说曲线$y=f(x)$在区间$(a,b)$上是（向下）凸的。例如三次函数$y=x^{3}$在$(-\infty ,0)$上是凸的。

定理

1. 设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，$(a,b)$内可导，
   1. 如果在区间$(a,b)$上$f^{\prime }(x)$单调递增，那么$f(x)$在$[a,b]$上是凹的。
   2. 如果在区间$(a,b)$上$f^{\prime }(x)$单调递减，那么$f(x)$在$[a,b]$上是凸的。
2. 设函数$f(x)$在区间[a,b]上连续，(a,b)内二阶可导，
   1. 如果在区间$(a,b)$上$f^{\prime \prime }(x)>0$，那么$f(x)$在$[a,b]$上是凸函数（图像为凹的）
   2. 如果在区间$(a,b)$上$f^{\prime \prime }(x)<0$，那么$f(x)$在$[a,b]$上是凹函数（图像为凸的）