介值定理

在数学分析中，介值定理（英語：intermediate value theorem，又稱中間值定理）描述了連續函數在兩點之間的連續性：

假設

f:[a,b]\to \mathbb {R}

為一連續函數。若一實數

u

滿足

(f(a)-u)(f(b)-u)<0

，則存在一實數

c\in (a,b)

使得

f(c)=u

。

介值定理首先由伯纳德·波尔查诺在1817年提出和证明，在這個證明中，他附帶證明了波爾查諾－魏爾斯特拉斯定理。

定理

設 $I=[a,b]$ ，其中 $a<b$ ，且 $f\colon I\to \mathbb {R}$ 為一連續函數。則下列敘述成立：

對任意滿足 $(f(a)-u)(f(b)-u)<0$ 的實數 $u$ ，皆存在一實數 $c\in (a,b)$ 使得 $f(c)=u$ 。
$f(I)$ 為一包含 $f(a)$ 與 $f(b)$ 的閉區間。

证明

先证明第一种情况 $f(a)<u<f(b)$ ；第二种情况也类似。

设 $S$ 为 $[a,b]$ 内所有 $x$ 的集合，使得 $f(x)\leqslant u$ 。那么 $S$ 是非空的，因为 $a$ 是 $S$ 的一个元素，且 $S$ 是上有界的，其上界为 $b$ 。于是，根据实数的完备性，最小上界 $c=\mathrm {sup}$ $S$ 一定存在。我们来证明 $f(c)=u$ 。

假设 $f(c)>u$ 。那么 $f(c)-u>0$ ，因此存在 $\delta >0$ ，使得当 $\left|x-c\right|<\delta$ 时，就有 $\left|f(x)-f(c)\right|<f(c)-u$ ，因为 $f$ 是连续函数。但是，这样一来，当 $\left|x-c\right|<\delta$ 时，就有 $f(x)>f(c)-(f(c)-u)=u$ （也就是说，对于 $(c-\delta ,c+\delta )$ 内的 $x$ ， $f(x)$ 皆 $>u$ ）。但參照上述定義，因为 $c=\mathrm {sup}$ $S$ , 因此存在 $x'\in (c-\delta ,c]$ ，使得 $f(x')\leqslant u$ , 所以我们有： $f(x')>u$ 并且 $f(x')\leqslant u$ , 这显然是矛盾的。
假设 $f(c)<u$ 。根据连续性，存在一个 $\delta >0$ ，使得当 $\left|x-c\right|<\delta$ 时，就有 $\left|f(x)-f(c)\right|<u-f(c)$ 。那么对于 $(c-\delta ,c+\delta )$ 内的 $x$ ，都有 $f(x)<f(c)+(u-f(c))=u$ ，因此存在大于 $c$ 的 $x$ ，使得 $f(x)<u$ ，这与 $c$ 的定义矛盾。