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代換積分法

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換元積分法,又稱變數變換法(英語:Integration by substitution),是求積分的一種方法,由鏈式法則微積分基本定理推導而來。

第一類換元法

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為可積函數,為連續可導函數,則有:

第一類換元法的基本思想是配湊的思想。

第二類換元法

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為可積函數,為連續可導函數,則有:

在遇到類似的式子時,通常採取分別令進行換元[1],得到關於的一個原函數。如果要計算不定積分,則再由的關係還原即可;如果要計算定積分,只需在變換後的積分限下計算相應的定積分即可。

例子

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計算積分

引入另外一個變數

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, 則
,
,

其中 換元為 後, 亦變為 ,是因為其形式為黎曼-斯蒂爾傑斯積分,但在黎曼-斯蒂爾傑斯積分中變數的取值範圍應該還是 x 的取值範圍,而不是 g(x) 的取值範圍。

不引入另外一個變數

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注釋

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  1. ^ 換元的過程需要注意指明新變量的取值範圍。

參見

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