换元积分法

换元积分法，又称变数变换法（英语：Integration by substitution），是求积分的一种方法，由链式法则和微积分基本定理推导而来。

第一类换元法

设$f(x)\$为可积函数，$g=g(x)\$为连续可导函数，则有：

$\int _{\alpha }^{\beta }f(g)g'\mathrm {d} x=\int _{g(\alpha )}^{g(\beta )}f(g)\mathrm {d} g$

第一类换元法的基本思想是配凑的思想。

第二类换元法

设$f(x)\$为可积函数，$x=x(g)\$为连续可导函数，则有：

$\int _{\alpha }^{\beta }f(x)\mathrm {d} x=\int _{x^{-1}(\alpha )}^{x^{-1}(\beta )}f(x(g))x'\mathrm {d} g$

在遇到类似${\sqrt {x^{2}-a^{2}}}$、${\sqrt {x^{2}+a^{2}}}$和${\sqrt {a^{2}-x^{2}}}$的式子时，通常采取分别令$x=\pm a\sec t$、$x=\pm a\tan t$或$x=\pm a\sin t$进行换元，得到关于$t$的一个原函数。如果要计算不定积分，则再由$x$与$t$的关系还原即可；如果要计算定积分，只需在变换后的积分限$\alpha$和$\beta$下计算相应的定积分即可。

例子

计算积分$\int _{0}^{2}x\cos(x^{2}+1)\,dx$。

引入另外一个变数

设 $u=x^{2}+1$, 则 $du=2xdx$
当 $x=0$, $u=1$
当 $x=2$, $u=5$

${\begin{aligned}\therefore \int _{0}^{2}x\cos(x^{2}+1)dx&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{2}{\underbrace {\cos({{x}^{2}}+1)} _{\cos u}\cdot \underbrace {2xdx} _{du}}\\&={\frac {1}{2}}\int _{1}^{5}\cos u\,du\\&={\frac {1}{2}}\left[\sin u\right]_{1}^{5}\\&={\frac {1}{2}}(\sin 5-\sin 1)\end{aligned}}$

其中 $dx$ 换元为 $du$ 后，$\int _{0}^{2}$ 亦变为 $\int _{1}^{5}$，是因为其形式为黎曼－斯蒂尔杰斯积分，但在黎曼－斯蒂尔杰斯积分中变数的取值范围应该还是 x 的取值范围，而不是 g(x) 的取值范围。

不引入另外一个变数

${\begin{matrix}\because &\displaystyle {{\frac {d}{dx}}({{x}^{2}}+1)=2x}\\\therefore &d({{x}^{2}}+1)=2xdx\\\end{matrix}}$

${\begin{aligned}\therefore \int _{0}^{2}x\cos(x^{2}+1)dx&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{2}{\cos({{x}^{2}}+1)\cdot 2xdx}\\&={\frac {1}{2}}\int _{1}^{5}\cos(x^{2}+1)\,d(x^{2}+1)\\&={\frac {1}{2}}\left[\sin(x^{2}+1)\right]_{1}^{5}\\&={\frac {1}{2}}(\sin 5-\sin 1)\end{aligned}}$

参见

• 分部积分法