洛必達法則(有的教科書稱為羅比塔法則[1])(法語:Règle de L'Hôpital,英語:L'Hôpital's rule)是利用導數來計算具有不定型的極限的方法。該法則以法國數學家紀堯姆·德·洛必達的名字命名,但實際上是由瑞士數學家約翰·白努利[2]所發現。
洛必達法則可以求出特定函數趨近於某數的極限值。令
(擴展實數),兩函數
在以
為端點的開區間可微,
,並且
。
如果
或
其中一者成立,則稱欲求的極限
為未定式。
此時洛必達法則表明:
。
對於不符合上述分數形式的未定式,可以通過運算轉為分數形式,再以本法則求其值。以下列出數例:
欲求的極限
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條件
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轉換為分數形式的方法
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(1)
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或
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(2)
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(3)
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或
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(4)
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注意:不能在數列形式下直接用洛必達法則,因為對於離散變量是無法求導數的。但此時有形式類近的斯托爾茲-切薩羅定理(Stolz-Cesàro theorem)作為替代。
下面僅給出
的證明。
設兩函數
及
在a 點附近連續可導,
及
都在 a 點連續,且其值皆為 0 ,
![{\displaystyle f(a)=0;\;g(a)=0,\qquad \lim _{x\to a}f(x)=0;\;\lim _{x\to a}g(x)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/042f8977d47f9e233731e6c011eaa6e5acd6e73a)
為了敘述方便,假設兩函數在 a 點附近都不為0。另一方面,兩函數的導數比值在 a 點存在,記為
![{\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=L.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0dafcf3931d3d1c894a88db9cbfebf44250be95)
由極限的定義,對任何一個
(試想像y軸),都存在
(試想像x軸),使得對任意的
,都有:
![{\displaystyle L-\epsilon \leqslant {\frac {f'(x)}{g'(x)}}\leqslant L+\epsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c6be5a5c66cbfa3003f6b27e4235584ffb30269)
而根據柯西中值定理(逆定理),對任意的
,都存在一個介於
和
之間的數
,使得:
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於是,
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因此,
- 極限
![{\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}=L=\lim _{x\to a}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac0b739291e663171ece84e30d8b9cb4b1b86973)
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![{\displaystyle \lim _{x\to 0}{e^{x}-1-x \over x^{2}}=\lim _{x\to 0}{e^{x}-1 \over 2x}=\lim _{x\to 0}{e^{x} \over 2}={1 \over 2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9ce458b1ceb62a743891c71572947324390523c)
![{\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\sqrt {x}}{\ln(x)}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {\ {\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}\ }{\frac {1}{x}}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {\sqrt {x}}{2}}=\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba417067c155b2039c7fddfa35175bc4eec9e04d)
![{\displaystyle \lim _{x\to \infty }x^{n}e^{-x}=\lim _{x\to \infty }{x^{n} \over e^{x}}=\lim _{x\to \infty }{nx^{n-1} \over e^{x}}=n\lim _{x\to \infty }{x^{n-1} \over e^{x}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8880d6c4ba49bac1bbc3996cfafce9fe163dd462)
![{\displaystyle \lim _{x\to 0+}(x\ln x)=\lim _{x\to 0+}{\ln x \over {\frac {1}{x}}}=\lim _{x\to 0+}{{\frac {1}{x}} \over -{\frac {1}{x^{2}}}}=\lim _{x\to 0+}-x=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/607af56c8a31ad58eba45a9ab1f79e128028c471)
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