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柯西稠密判定法

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在数学分析领域中、 柯西稠密测试(得名于法国数学家柯西),是一个应对无穷级数的收敛测试

一般而言,一个单调递减、非负的实数序列 所对应的级数收敛当且仅当其“凝结”级数(英语:Condensed Series) 收敛。 且此极限(如果存在)满足以下不等式:

换言之,“凝结”级数的极限在原级数极限和它的二倍之间。

推导

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要证明该方法的正确性,我们需要证明上面的不等式。

第一个不等式可以通过替换原级数里的一些项得到。注意这里需要用到原级数的性质(单调递减)。

相似地,第二个不等式也需要我们重新组合和替换。




註釋

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  • Bonar, Khoury (2006). Real Infinite Series. Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-745-6.

外部連結

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