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微分的線性

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在微積分中,函數的任何線性組合的導數等於函數的導數的相同線性組合[1],此屬性稱為微分的線性(linearity of differentiation)[2]、線性法則(rule of linearity)、或微分的疊加法則[3]。導數的基本屬性是將兩個簡單的微分法則封裝在一起:求和法則(兩個函數之和的導數是導數的和)和常數法則(函數的常數倍的導數是該函數的導數的常數倍)[4][5]。因此,可以說微分作用是線性的,或者微分算子是線性的算子[6]

說明

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fg 為函數,同時 αβ 是常數,思考:

通過微分的求和法則:

通過微分的常數法則,這一式子變為:

進而:

忽略括號,這常被寫作


參考資料

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  1. ^ Blank, Brian E.; Krantz, Steven George, Calculus: Single Variable, Volume 1, Springer: 177, 2006 [2020-08-22], ISBN 9781931914598, (原始內容存檔於2021-04-29) .
  2. ^ Strang, Gilbert, Calculus, Volume 1, SIAM: 71–72, 1991 [2020-08-22], ISBN 9780961408824, (原始內容存檔於2021-04-29) .
  3. ^ Stroyan, K. D., Calculus Using Mathematica, Academic Press: 89, 2014 [2020-08-22], ISBN 9781483267975, (原始內容存檔於2021-04-29) 
  4. ^ Estep, Donald, 20.1 Linear Combinations of Functions, Practical Analysis in One Variable, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer: 259–260, 2002 [2020-08-22], ISBN 9780387954844, (原始內容存檔於2021-04-29) .
  5. ^ Zorn, Paul, Understanding Real Analysis, CRC Press: 184, 2010 [2020-08-22], ISBN 9781439894323, (原始內容存檔於2021-04-29) .
  6. ^ Gockenbach, Mark S., Finite-Dimensional Linear Algebra, Discrete Mathematics and Its Applications, CRC Press: 103, 2011 [2020-08-22], ISBN 9781439815649, (原始內容存檔於2021-04-29) .