本頁使用了標題或全文手工轉換
Padlock-silver.svg

方向導數

維基百科,自由的百科全書
跳到: 導覽搜尋

方向導數分析學特別是多元微積分中的概念。一個純量場在某點沿着某個向量方向上的方向導數,描繪了該點附近純量場沿着該向量方向變動時的瞬時變化率[1]。方向導數是偏導數的概念的推廣,也是加托導數的一個特例。

定義

是從 上某個開集 射到實數體的一個函數。對內某點,以及某個非零向量,若從射到的函數:

在零附近連續,而且的導數在處存在,那麼可以定義處沿向量的方向導數為:

[2]:35

有些書籍中會較為嚴格地定義方向導數為函數在某一點沿單位長度向量的方向導數,在這樣的上下文中,「函數在某點沿向量方向上的導數」指的是函數在這一點沿着對應的單位向量的方向導數。

性質

許多導數的常見性質都適用於方向導數。例如,對於任何在p鄰域內有定義且在點p可微的函數,都有:

  • 加法定則:
  • 常數因子法則:對於任何常數c
  • 乘法定則(或萊布尼茲法則):
  • 複合函數求導法則:如果g在點p可微,hg(p)可微,則

如果函數在點可微,則沿着任意非零向量的方向導數都存在。對賦範向量空間內積空間有:

其中 是函數 微分,為一線性映射 符號表示梯度算子,而「」表示中相應的內積

如果函數在某一點可微,則其在這一點上沿任何向量的方向導數都存在。但反之則不然。即便一個函數在某一點上沿任何向量的方向導數都存在,它也有可能在這一點上不可微,甚至不連續。

最大方向導數

如果一個純量場在某點沿任意方向的方向導數都存在,則其中必有最大的一個。由柯西不等式可知,方向導數的最大值等於其梯度的範數,若且唯若沿着其梯度的方向時取到。這也說明純量場某點梯度的方向是函數瞬時變化率最大的方向[2]:36

在微分幾何中

M是一個可微流形xM上的一個點。假設f是在P鄰域內有定義且在點x可微的函數。如果vM在點x的一個切向量,則f沿着v方向的方向導數可以定義如下。設γ : [-1,1] → M是一個可微曲線,γ(0) = x,且γ(0) = v。則方向導數定義為:

法向導數

法向導數是在空間裏沿着某個曲面的法線方向(也就是垂直該曲面)的方向導數,或者更一般地,沿着某個超曲面(hyperface)的法向量的方向導數。參見諾伊曼邊界條件。如果法線方向記為,則函數 的法向導數有時記為

參見

註解

  1. ^ Tom Apostol. Mathematical Analysis 2nd Ed. Addison-Wesley. 1974: 344–345. ISBN 0-201-00288-4. 
  2. ^ 2.0 2.1 Rodney Coleman. Calculus on Normed Vector Spaces. Springer. 2012. ISBN 9781461438946. 

參考文獻

  • Kaplan, W. "The Directional Derivative." §2.14 in Advanced Calculus, 4th ed. Reading, MA: Addison-Wesley, pp. 135-138, 1991.
  • Morse, P. M. and Feshbach, H. "Directional Derivatives." In Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, pp. 32-33, 1953.