微分

維基百科,自由的百科全書
前往: 導覽搜尋

數學中,微分是對函數的局部變化率的一種線性描述。微分可以近似地描述當函數自變量的取值作足夠小的改變時,函數的值是怎樣改變的。當某些函數的自變量有一個微小的改變時,函數的變化可以分解為兩個部分。一個部分是線性部分:在一維情況下,它正比於自變量的變化量,可以表示成和一個與無關,只與函數有關的量的乘積;在更廣泛的情況下,它是一個線性映射作用在上的值。另一部分是比更高階的無窮小,也就是說除以後仍然會趨於零。當改變量很小時,第二部分可以忽略不計,函數的變化量約等於第一部分,也就是函數在處的微分,記作。如果一個函數在某處具有以上的性質,就稱此函數在該點可微。

不是所有的函數的變化量都可以分為以上提到的兩個部分。若函數在某一點無法做到可微,便稱函數在該點不可微。

在古典的微積分學中,微分被定義為變化量的線性部分,在現代的定義中,微分被定義為將自變量的改變量映射到變化量的線性部分的線性映射。這個映射也被稱為切映射給定的函數在一點的微分如果存在,就一定是唯一的。[來源請求]

一元微分[編輯]

定義[編輯]

函數在一點的微分。其中紅線部分是微分量,而加上灰線部分後是實際的改變量

函數在某區間內有定義。對於內一點,當變動到附近的(也在此區間內)時,如果函數的增量可表示為 (其中是不依賴於常數),而是比高階的無窮小,那麼稱函數在點可微的,且稱作函數在相應於自變量增量的微分,記作,即線性主部[1]:141

通常把自變量的增量稱為自變量的微分,記作,即

和導數的關係[編輯]

微分和導數是兩個不同的概念。但是,對一元函數來說,可微與可導是完全等價的概念[1]:141。可微的函數,其微分等於導數乘以自變量的微分,換句話說,函數的微分與自變量的微分之商等於該函數的導數。因此,導數也叫做微商。於是函數的微分又可記作[2]

幾何意義[編輯]

曲線上的點在橫坐標上的增量,曲線在點對應在縱坐標上的增量,是曲線在點切線對應在縱坐標上的增量。當很小時,要小得多(高階無窮小),因此在點附近,我們可以用切線段來近似代替曲線段。

例子[編輯]

設有函數,考慮它從某一點變到。這時,函數的改變量等於:

其中的線性主部:,高階無窮小是。 因此函數在點處的微分是。函數的微分與自變量的微分之商,等於函數的導數。

方程式:dy/dx=d(ax^n)/dx 尤其y=ax^n

                        =nax^(n-1)

例子:y=2x²

          d(y)/dx=d(2x²)/dx   设2=a,x²=x^n,n=2
                       =nax^(n-1)
                       =(2)2x^(2-1)
                       =4x

微分法則[編輯]

和求導一樣,微分有類似的法則。例如,如果設函數可微,那麼:

  • 若函數可導,那麼[1]:139

極值[編輯]

多元函數微分[編輯]

當自變量是多元變量時,導數的概念已經不適用了(儘管可以定義對某個分量的偏導數),但仍然有微分的概念。

定義[編輯]

是從歐幾里得空間Rn(或者任意一個內積空間)中的一個開集射到Rm的一個函數。對於中的一點及其在中的鄰域中的點。如果存在線性映射使得對任意這樣的,

那麼稱函數在點處可微。線性映射叫做在點處的微分,記作

如果在點處可微,那麼它在該點處一定連續,而且在該點的微分只有一個。為了和偏導數區別,多元函數的微分也叫做全微分全導數

當函數在某個區域的每一點都有微分時,可以考慮將映射到的函數:

這個函數一般稱為微分函數[3]

性質[編輯]

  • 如果是線性映射,那麼它在任意一點的微分都等於自身。
  • Rn(或定義了一組標準基的內積空間)裡,函數的全微分和偏導數間的關係可以通過雅可比矩陣刻畫:
是從Rn射到Rm的函數,,那麼:

具體來說,對於一個改變量:,微分值:

  • 可微的必要條件:如果函數在一點處可微,那麼雅克比矩陣的每一個元素都存在,但反之不真[4]:76
  • 可微的充分條件:如果函數在一點的雅克比矩陣的每一個元素都在連續,那麼函數在這點處可微,但反之不真[4]:77

例子[編輯]

函數是一個從射到的函數。它在某一點的雅可比矩陣為:

微分為:,也就是:

微分與微分形式[編輯]

如果說微分是導數的一種推廣,那麼微分形式則是對於微分函數的再推廣。微分函數對每個點給出一個近似描述函數性質的線性映射,而微分形式對區域內的每一點給出一個從該點的切空間映射到值域的斜對稱形式。在坐標記法下,可以寫成:

其中的-射影算子,也就是說將一個向量射到它的第個分量的映射。而是滿足:

k-形式。

特別地,當是一個從Rn射到R 的函數時,可以將寫作:

正是上面公式的一個特例[5]

參見[編輯]

參考來源[編輯]

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 歐陽光中 姚允龍 周淵 編. 《數學分析(上冊)》. 復旦大學出版社. 2003. ISBN 7309035704. 
  2. ^ 梁子傑. 「可微」還是「可導」? (PDF). 數學教育. 
  3. ^ 微分函數. 逢甲大學網路教學實驗室. 
  4. ^ 4.0 4.1 徐森林,薛春華. 《數學分析(第二冊)》. 清華大學出版社. 2005. ISBN 978-7-302-13141-0. 
  5. ^ B.A.卓里奇 著,蔣鐸、錢佩玲、周美珂、鄺榮雨 譯. 《數學分析》第二卷. 高等教育出版社. 2006. ISBN 978-7-040-20257-1. 第175-183頁.
  • 齊民友. 《重溫微積分》. 高等教育出版社. 2004. ISBN 7-040-12931-0. 
  • Walter Rudin. 《數學分析原理》(Principles of Mathematical Analysis). Mcgraw-hill Book Company. 1976. ISBN 978-0-070-54235-8.