中值定理

在数学分析中，中值定理（英语：mean value theorem）大致是讲，给定平面上固定两端点的可微曲线，则这曲线在这两端点间至少有一点，在这点该曲线的切线的斜率等于两端点连结起来的直线的斜率。^{[注 1]}

更仔细点讲，假设函数 $f$ 在闭区间 $[a,b]$ 连续且在开区间 $(a,b)$ 可微，则存在一点 $c,\,a<c<b$ ，使得

$f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$

中值定理包括微分中值定理和积分中值定理。

微分中值定理

微分中值定理分为罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，内容粗略的说是指平面上一段固定端点的可微曲线，两端点之中必然有一点，它的斜率与连接两端点的直线斜率相同（严格的数学表达参见下文）。

当提到中值定理时在没有特别说明下一般指拉格朗日中值定理。

罗尔中值定理

如果函数 $f(x)$ 满足

在闭区间 $[a,b]$ 上连续；
在开区间 $(a,b)$ 内可导；
在区间端点处的函数值相等，即 $f(a)=f(b)$ ，

那么在 $(a,b)$ 内至少有一点 $\xi (a<\xi <b)$ ，使得 $f^{\prime }(\xi )=0$

这个定理称为罗尔定理。

拉格朗日中值定理（中值定理）

令 $f:[a,b]\rightarrow \mathbf {R}$ 为闭区间 $[a,b]$ 上的一个连续函数，且在开区间 $(a,b)$ 内可导，其中 $a<b$ 。那么在 $(a,b)$ 上存在某个 $c$ 使得

$f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$

此定理称为拉格朗日中值定理，也简称中值定理，是罗尔中值定理的更一般的形式，同时也是柯西中值定理的特殊情形。

这个定理在可以稍微推广一点。只需假设 $f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ 在 $[a,b]$ 连续，且在开区间 $(a,b)$ 内对任意一点 $x$ ，极限

$\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$

存在，为一个有限数字或者等于+∞或−∞.如果有限，则极限等于 $f'(x)$ 。这版本定理应用的一个例子是函数 $x\to x^{1/3}$ ，实值三次方根函数，其导数在原点趋于无穷。

注意若一个可微函数的值域是复数而不是实数，则上面这定理就未必正确。例如，对实数 $x$ 定义 $f(x)=e^{ix}$ 。那么

$f(2\pi )-f(0)=0\neq f'(c)(2\pi -0)$

因 $|f'(x)|=1\neq 0$ 时， $c$ 为开区间 $(0,2\pi )$ 中任意一点。

柯西中值定理

柯西中值定理，也叫拓展中值定理，是中值定理的一般形式，其叙述为：如果函数 $f$ 和 $g$ 都在闭区间 $[a,b]$ 上连续，且在开区间 $(a,b)$ 上可导，那么存在某个 $c\in (a,b)$ ，使得

$(f(b)-f(a))g\,'(c)=(g(b)-g(a))f\,'(c)\,$

当然，如果 $g(a)\neq g(b)$ 且 $g(c)\neq 0$ ，则可表示成：

${\frac {f'(c)}{g'(c)}}={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}$

在几何上，这表示曲线 ${\begin{cases}[a,b]\to \mathbb {R} ^{2}\\t\mapsto (f(t),g(t))\end{cases}}$ 上存在一点其切线平行于由两点（ $f(a),g(a)$ ）和（ $f(b),g(b)$ ）所连接的直线。但柯西定理不能表明在任何情况下这种切线都存在，因为可能存在一些 $c$ 值使 $f(c)=g(c)=0$ ，所以在这些点曲线根本没有切线。下面是这种情形的一个例子

$t\mapsto (t^{3},1-t^{2})$

在区间 $[-1,1]$ 上，曲线由 $(-1,0)$ 到 $\left(1,0\right)$ ，却并无一个水平切线，但在 $t=0$ 处有一个驻点（实际上是一个尖点）。

柯西中值定理可以用来证明洛必达法则。拉格朗日中值定理是柯西中值定理当 $g(t)=t$ 时的特殊情况。

积分中值定理

积分中值定理分为积分第一中值定理和积分第二中值定理，它们各包含两个公式。其退化状态均指在ξ的变化过程中存在一个时刻使两个图形的面积相等（严格表述在下面）。

积分第一中值定理

设 $f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ 为一连续函数， $g:[a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ 要求 $g(x)$ 是可积函数且在积分区间不变号，那么存在一点 $\xi \in (a,b)$ 使得

$\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=f(\xi )\int _{a}^{b}g(x)\,dx$ 。

证明

在不失去一般性的条件下，设对所有 $x$ ，有 $g(x)\geq 0$ ；因为 $f$ 是闭区间上的连续函数， $f$ 取得最大值 $M$ 和最小值 $m$ 。于是 $mg(x)\leq f(x)g(x)\leq Mg(x)$

对不等式求积分，我们有 $m\int _{a}^{b}g(x)\,dx\leq \int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx\leq M\int _{a}^{b}g(x)\,dx$ 。若 $\int _{a}^{b}g(x)\,dx=0$ ，则 $\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=0$ 。 $\xi$ 可取 $[a,b]$ 上任一点。

若不等于零那么 $\int _{a}^{b}g(x)\,dx>0$ ， $m\leq {\frac {\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx}{\int _{a}^{b}g(x)\,dx}}\leq M$ 因为 $m\leq f(x)\leq M$ 是连续函数，根据介值定理，则必存在一点 $\xi \in [a,b]$ ，使得 $f(\xi )={\frac {\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx}{\int _{a}^{b}g(x)\,dx}}$

$g(x)<0$ 的情况按同样方法证明。

推论（拉格朗日中值定理的积分形式）

在上式中令 $g(x)=1$ ，则可得出：

设 $f:[a,b]\rightarrow \mathbf {R}$ 为一连续函数，则∃ $\xi \in [a,b]$ ，使

$f(\xi )={\frac {\int _{a}^{b}f(x)\,dx}{b-a}}$

它也可以由拉格朗日中值定理推出：

设 $F(x)$ 在 $[a,b]$ 上可导， $f(x)=F^{\prime }(x)$ ，则∃ $\xi \in [a,b]$ ，使

$f(\xi )=F^{\prime }(\xi )={\frac {F(b)-F(a)}{b-a}}={\frac {\int _{a}^{b}f(x)\,dx}{b-a}}$

积分第二中值定理

积分第二中值定理与积分第一中值定理相互独立，却又是更精细的积分中值定理。它可以用来证明Dirichlet-Abel反常Riemann积分判别法。

内容

若 $f,g$ 在 $[a,b]$ 上黎曼可积且 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上单调，则存在 $[a,b]$ 上的点ξ使 $\int _{a}^{b}{f(x)g(x)\mathrm {d} x=}f(a)\int _{a}^{\xi }{g(x)\mathrm {d} x+}f(b)\int _{\xi }^{b}{g(x)\mathrm {d} x}$

退化态的几何意义

令 $g(x)=1$ ，则原公式可化为： $\int _{a}^{b}{f(x)dx}=f(a)(\xi -a)+f(b)(b-\xi )$ 进而导出： $\int _{a}^{\xi }{f(x)dx}-f(a)(\xi -a)=f(b)(b-\xi )-\int _{\xi }^{b}{f(x)dx}$

此时易得其几何意义为：能找到ξ∈[a,b]，使得S[红]+S[蓝]=S[阴影]，即S[I]=S[II]

应用

关于积分中值定理的一个重要应用是可以去除掉积分号，或者使复杂的被积函数化为相对简单的被积函数，从而使问题简化。

注释

^ 这个定理有两种翻译：均值定理跟中值定理，与数学分析中另一重要定理：介值定理（intermediate value theorem）容易混淆

参见

[1] 这个定理有两种翻译：均值定理跟中值定理，与数学分析中另一重要定理：介值定理（intermediate value theorem）容易混淆

[注 1]