微積分基本定理

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微積分基本定理描述了微積分的兩個主要運算──微分積分之間的關係。

定理的第一部分,稱為微積分第一基本定理,表明定積分可以用無窮多個原函數的任意一個來計算。這一部分有很多實際應用,這是因為它大大簡化了定積分的計算。

定理的第二部分,稱為微積分第二基本定理,表明不定積分是微分的逆運算。[1]這一部分定理的重要之處在於它保證了某連續函數原函數的存在性。

該定理的一個特殊形式,首先由詹姆斯·格里高利(1638-1675)證明和出版。[2]定理的一般形式,則由艾薩克·巴羅完成證明。

微積分基本定理表明,一個變量在一段時間之內的無窮小變化之和,等於該變量的淨變化。

我們從一個例子開始。假設有一個物體在直線上運動,其位置為x(t),其中t為時間,x(t)意味著xt的函數。這個函數的導數等於位置的無窮小變化dx除以時間的無窮小變化dt(當然,該導數本身也與時間有關)。我們把速度定義為位置的變化除以時間的變化。用萊布尼茲記法

整理,得

根據以上的推理,的變化──,是的無窮小變化之和。它也等於導數和時間的無窮小乘積之和。這個無窮的和,就是積分;所以,一個函數求導之後再積分,得到的就是原來的函數。我們可以合理地推斷,這個運算反過來也成立,積分之後再求導,得到的也是原來的函數。

正式表述[編輯]

微積分基本定理(FTC)有兩個部分,第一部分描述了原函數和定積分之間的關係,第二部分是關於原函數的導數。

第一部分 第一基本定理[編輯]

f 為在閉區間 [a, b] 內連續的實函數,則對於所有閉區間 [a, b]內的 x ,函數 F 定義為

F 為在閉區間 [a, b] 內的連續函數,且在閉區間 [a, b] 內是可以微分的,其微分為

我們可以說, Ff 的一個原函數。

第二部分 第二基本定理[編輯]

為定義在閉區間實函數

  

那麼,可導,及

證明[編輯]

第一部分[編輯]

f在區間[a, b]上連續,並設Ff的原函數。我們從以下表達式開始

設有數

x0, ..., xn

使得

可得

我們加上F(xi)及其相反數,這樣等式仍成立:

以上表達式可用以下的和表示:

我們將使用均值定理。就是:

F在閉區間[a, b]連續,在開區間(a, b)可導,則開區間(a, b)內一定存在c使得

可得

函數F在區間[a, b]可導,所以在每一個區間xi-1也是可導和連續的。因此,根據介值定理,

把上式代入(1),得

根據第一部分的結論,我們有。另外,可表示為第個小區間的

一個黎曼和的收斂數列。右上角的數是灰色矩形的面積。它們收斂於函數的積分。

注意到我們正在描述矩形的面積(長度乘以寬度),並把這些面積相加起來。每一個矩形都描述了一部分曲線的估計。同時也注意到,並不需要對於任何都是相同的,換句話說,矩形的長度可以變化。我們要做的,是要用個矩形來近似代替曲線。現在,當n增加而每一個矩形越來越小時,它的面積就越來越接近曲線的真實面積。

當矩形的寬度趨近於零時取極限,便得出黎曼積分。也就是說,我們取最寬的矩形趨於零,而矩形的數目趨於無窮大時的極限。

所以,我們把(2)式的兩邊取極限,得

F(b)和F(a)都不依賴於||Δ||,所以左面的極限仍然是F(b) - F(a)。

右邊的表達式定義了fab的積分。這樣,我們有

證明完畢。

第二部分[編輯]

假設有

x1x1 + Δx為區間[a, b]中的兩個數。我們有

兩式相減,得

可以證明

(兩個相鄰區域的面積之和,等於兩個區域合併起來的面積。)

整理,得

把上式代入(1),得

根據積分中值定理,在區間[x1, x1 + Δx]存在一個c,使得

把上式代入(2),得

兩邊除以Δx,得

注意左邊的表達式是Fx1處的牛頓差商

兩邊取Δx → 0的極限,

左邊的表達式是Fx1處的導數的定義。

我們用夾擠定理來求另一個極限。c在區間[x1, x1 + Δx]內,因此x1cx1 + Δx

另外 and

所以,根據夾擠定理,

代入(3),可得

函數fc處連續,所以極限可以在函數裡面進行。因此,我們有

證明完畢。

推論[編輯]

f為定義在閉區間[a, b]的實數函數。設Ff的一個原函數,那麼,對於區間[a, b]內的所有x,有

例子[編輯]


計算以下積分:

在這裡,是一個原函數。因此:

推廣[編輯]

我們不需要假設 f 在整個區間是連續的。這樣定理的第一部分便說明:如果 f 是區間[a, b]內的任何一個勒貝格可積的函數,x0是[a, b]內的一個數,使得 fx0連續,則

x = x0是可導的,且F'(x0) = f(x0)。我們可以把f的條件進一步降低,假設它僅僅是可積的。這種情況下,我們便得出結論:F幾乎處處可導,且F'(x)幾乎處處等於f(x)。這有時稱為勒貝格微分定理

定理的第二部分對於任何具有原函數F的勒貝格可積函數f都是正確的(不是所有可積的函數都有原函數)。

泰勒定理中把誤差項表示成一個積分的形式,可以視為微積分基本定理的一個推廣。

對於複數函數,也有一個類似的形式:假設UC的一個開集,f: UC是一個在U處具有全純原函數F的函數。那麼對於所有曲線γ: [a, b] → U曲線積分可以用下式來計算:

微積分基本定理可以推廣到多維空間的曲線和曲面積分,也可以推廣到流形

這個方向上的一個有力的表述是斯托克斯定理:設 M 為一個可定向分段光滑n維流形,並設n−1階M上的C1緊支撐微分形式。如果∂M表示M邊界,並以M的方向誘導的方向為邊界的方向,則

這裡外導數,它僅僅用流形的結構來定義。斯托克斯定理將德拉姆上同調和奇異鏈的同調聯繫起來。

參看[編輯]

註解[編輯]

  1. ^ 更加確切地,該定理涉及了可變上限和任意選擇的下限的定積分。這類特殊的定積分允許我們計算函數的無窮多個原函數之一(除了那些沒有零點的原函數)因此,它幾乎跟不定積分是等價的,大部分作者把它定義為產生任何一個可能的原函數的運算,包括沒有零點的原函數。
  2. ^ See, e.g., Marlow Anderson, Victor J. Katz, Robin J. Wilson, Sherlock Holmes in Babylon and Other Tales of Mathematical History, Mathematical Association of America, 2004, p. 114.

參考文獻[編輯]

  • Larson, Ron, Bruce H. Edwards, David E. Heyd. Calculus of a single variable. 7th ed. Boston: Houghton Mifflin Company, 2002.
  • Leithold, L. (1996). The calculus 7 of a single variable. 6th ed. New York: HarperCollins College Publishers.
  • Malet, A, Studies on James Gregorie (1638-1675) (PhD Thesis, Princeton, 1989).
  • Stewart, J. (2003). Fundamental Theorem of Calculus. In Integrals. In Calculus: early transcendentals. Belmont, California: Thomson/Brooks/Cole.
  • Turnbull, H W (ed.), The James Gregory Tercentenary Memorial Volume (London, 1939)

外部連結[編輯]