距離

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距離是一種純量,不具方向。這種不會是負數

物理學上,距離是由某些媒介如人、動物和交通工具[1]所經過路線的公里,由起點到終點的向量則是位移

數學上,距離是定義在向量空間中的一種函數。例如:日常生活中,最常見的距離就是歐幾里德空間中的距離,是2階範數;在圖論 中,距離是兩個頂點之間經過最短路徑的邊的數目;在坐標幾何中,距離是1階範數。

直角坐標系中[編輯]

兩點間的距離[編輯]

即兩個點之間的線段長度

  • 二維距離:d = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}
  • 三維距離:d = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2}

點到直線的距離[編輯]

點和直線的距離是點到直線的垂直線段的長度

若在平面坐標幾何上的直線定義為ax + by + c = 0,點的座標為(x0, y0),則它們之間的距離為:

d = \left| \frac{ax_0 + by_0 + c}{\sqrt{a^2+b^2}} \right|

異面直線間的距離[編輯]

設兩直線的方程分別為:

\frac{x-x_1}{L_1} = \frac{y-y_1}{M_1} = \frac{z-z_1}{N_1}
\frac{x-x_2}{L_2} = \frac{y-y_2}{M_2} = \frac{z-z_2}{N_2}

則,該兩直線間的距離

d = \frac{\begin{vmatrix} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ L_1 & M_1 & N_1 \\ L_2 & M_2 & N_2 \end{vmatrix}}
{\sqrt{
\begin{vmatrix} M_1&N_1 \\ M_2&N_2 \end{vmatrix}^2 + 
\begin{vmatrix} N_1&L_1 \\ N_2&L_2 \end{vmatrix}^2 +
\begin{vmatrix} L_1&M_1 \\ L_2&M_2 \end{vmatrix}^2
}}

點到平面的距離[編輯]

若點坐標為(x_0,y_0,z_0),平面為Ax+By+Cz+D=0,則點到平面的距離為:

d = \left|\frac{Ax_0+By_0+Cz_0+D}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\right|

兩平行直線[編輯]

若直線分別為ax + by + c1 = 0,和ax + by + c2 = 0,則它們之間的距離為:

d = \left|\frac{c_1-c_2}{\sqrt{a^2+b^2}}\right|

兩平行平面間的距離[編輯]

若兩平行平面分別為 Ax + By + Cz + D1 = 0 和 Ax + By + Cz + D2 = 0,則它們之間的距離為:

d = \left|\frac{D_1-D_2}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\right|

範數[編輯]

設在\mathbb{R}^m空間有兩點,p = (p_1,p_2,...,p_m)q = (q_1,q_2,...,q_m),不同的範數都是一種距離:

1-階範數 = \sum \left| x_i - y_i \right|
2-階範數 = \left( \sum \left| p_i - q_i \right|^2 \right)^\frac{1}{2}
n-階範數 = \left( \sum \left| p_i - q_i \right|^n \right)^\frac{1}{n}
無窮大階範數 = t階範數的極限,即n趨向無窮大

\lim_{n \to \infty} \left( \sum \left| p_i - q_i \right|^n \right)^\frac{1}{n}

= max \left| p_i - q_i \right|

參見[編輯]

腳注[編輯]

  1. ^ 道路使用貼士>道路使用者守則>目錄>第五章所有駕駛人須知>停車距離. 香港特別行政區政府──運輸署. [2008-01-27].