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對數微分法

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對數微分法(英語:Logarithmic differentiation)是在微積分學中,通過求某函數f對數導數英語Logarithmic derivative來求得函數導數的一種方法, [1]

這一方法常在函數對數求導比對函數本身求導更容易時使用,這樣的函數通常是幾項的積,取對數之後,可以把函數變成容易求導的幾項的和。這一方法對冪函數形式的函數也很有用。對數微分法依賴於鏈式法則對數的性質(尤其是自然對數),把積變為求和,把商變為做差[2][3]。這一方法可以應用於所有恆不為0的可微函數

概述

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對於某函數

運用對數微分法,通常對函數兩邊取絕對值後取自然對數[4]

運用隱式微分法[5],可得

兩邊同乘以y,則方程左邊只剩下dy/dx

對數微分法有用,是因為對數的性質可以大大簡化複雜函數的微分[6],常用的對數性質有:[3]

通用公式

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有一如下形式的函數,

兩邊取自然對數,得

兩邊對x求導,得

兩邊同乘以,可得原函數的導數為

應用

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積函數

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對如下形式的兩個函數的積函數

兩邊取自然對數,可得如下形式的和函數

應用鏈式法則,兩邊微分,得

整理,可得[7]

商函數

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對如下形式的兩個函數的商函數

兩邊取自然對數,可得如下形式的差函數

應用鏈式法則,兩邊求導,得

整理,可得

右邊通分之後,結果和對運用除法定則所得結果相同。

複合指數函數

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對於如下形式的函數

兩邊取自然對數,可得如下形式的積函數

應用鏈式法則,兩邊求導,得

整理,得

與將函數f看做指數函數,直接運用鏈式法則所得結果相同。

參見

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參考文獻

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  1. ^ Krantz, Steven G. Calculus demystified. McGraw-Hill Professional. 2003: 170. ISBN 0-07-139308-0. 
  2. ^ N.P. Bali. Golden Differential Calculus. Firewall Media. 2005: 282. ISBN 81-7008-152-1. 
  3. ^ 3.0 3.1 Bird, John. Higher Engineering Mathematics. Newnes. 2006: 324. ISBN 0-7506-8152-7. 
  4. ^ Dowling, Edward T. Schaum's Outline of Theory and Problems of Calculus for Business, Economics, and the Social Sciences. McGraw-Hill Professional. 1990: 160. ISBN 0-07-017673-6. 
  5. ^ Hirst, Keith. Calculus of One Variable. Birkhäuser. 2006: 97. ISBN 1-85233-940-3. 
  6. ^ Blank, Brian E. Calculus, single variable. Springer. 2006: 457. ISBN 1-931914-59-1. 
  7. ^ Williamson, Benjamin. An Elementary Treatise on the Differential Calculus. BiblioBazaar, LLC. 2008: 25–26. ISBN 0-559-47577-2. 

外部連結

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