對數微分法

對數微分法（英語：Logarithmic differentiation）是在微積分學中，通過求某函數f的對數導數來求得函數導數的一種方法，

$[\ln(f)]'={\frac {f'}{f}}\quad \rightarrow \quad f'=f\cdot [\ln(f)]'.$

這一方法常在函數對數求導比對函數本身求導更容易時使用，這樣的函數通常是幾項的積，取對數之後，可以把函數變成容易求導的幾項的和。這一方法對冪函數形式的函數也很有用。對數微分法依賴於鏈式法則和對數的性質（尤其是自然對數），把積變為求和，把商變為做差。這一方法可以應用於所有恆不為0的可微函數。

概述

對於某函數

$y=f(x)\,\!$

運用對數微分法，通常對函數兩邊取絕對值後取自然對數。

$\ln |y|=\ln |f(x)|\,\!$

運用隱式微分法，可得

${\frac {1}{y}}{\frac {dy}{dx}}={\frac {f'(x)}{f(x)}}$

兩邊同乘以y，則方程左邊只剩下dy/dx：

${\frac {dy}{dx}}=y\times {\frac {f'(x)}{f(x)}}=f'(x).$

對數微分法有用，是因為對數的性質可以大大簡化複雜函數的微分，常用的對數性質有：

$\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b),\qquad \ln \left({\frac {a}{b}}\right)=\ln(a)-\ln(b),\qquad \ln(a^{n})=n\ln(a)$

通用公式

有一如下形式的函數，

$f(x)=\prod _{i}(f_{i}(x))^{\alpha _{i}(x)}.$

兩邊取自然對數，得

$\ln(f(x))=\sum _{i}\alpha _{i}(x)\cdot \ln(f_{i}(x)),$

兩邊對x求導，得

${\frac {f'(x)}{f(x)}}=\sum _{i}\left[\alpha _{i}'(x)\cdot \ln(f_{i}(x))+\alpha _{i}(x)\cdot {\frac {f_{i}'(x)}{f_{i}(x)}}\right].$

兩邊同乘以$f(x)$，可得原函數的導數為

$f'(x)=\overbrace {\prod _{i}(f_{i}(x))^{\alpha _{i}(x)}} ^{f(x)}\times \overbrace {\sum _{i}\left\{\alpha _{i}'(x)\cdot \ln(f_{i}(x))+\alpha _{i}(x)\cdot {\frac {f_{i}'(x)}{f_{i}(x)}}\right\}} ^{[\ln(f(x))]'}$

應用

積函數

對如下形式的兩個函數的積函數

$f(x)=g(x)h(x)\,\!$

兩邊取自然對數，可得如下形式的和函數

$\ln(f(x))=\ln(g(x)h(x))=\ln(g(x))+\ln(h(x))\,\!$

應用鏈式法則，兩邊微分，得

${\frac {f'(x)}{f(x)}}={\frac {g'(x)}{g(x)}}+{\frac {h'(x)}{h(x)}}$

整理，可得

$f'(x)=f(x)\times {\Bigg \{}{\frac {g'(x)}{g(x)}}+{\frac {h'(x)}{h(x)}}{\Bigg \}}=g(x)h(x)\times {\Bigg \{}{\frac {g'(x)}{g(x)}}+{\frac {h'(x)}{h(x)}}{\Bigg \}}$

商函數

對如下形式的兩個函數的商函數

$f(x)={\frac {g(x)}{h(x)}}\,\!$

兩邊取自然對數，可得如下形式的差函數

$\ln(f(x))=\ln {\Bigg (}{\frac {g(x)}{h(x)}}{\Bigg )}=\ln(g(x))-\ln(h(x))\,\!$

應用鏈式法則，兩邊求導，得

${\frac {f'(x)}{f(x)}}={\frac {g'(x)}{g(x)}}-{\frac {h'(x)}{h(x)}}$

整理，可得

$f'(x)=f(x)\times {\Bigg \{}{\frac {g'(x)}{g(x)}}-{\frac {h'(x)}{h(x)}}{\Bigg \}}={\frac {g(x)}{h(x)}}\times {\Bigg \{}{\frac {g'(x)}{g(x)}}-{\frac {h'(x)}{h(x)}}{\Bigg \}}$

右邊通分之後，結果和對$f(x)$運用除法定則所得結果相同。

複合指數函數

對於如下形式的函數

$f(x)=g(x)^{h(x)}\,\!$

兩邊取自然對數，可得如下形式的積函數

$\ln(f(x))=\ln \left(g(x)^{h(x)}\right)=h(x)\ln(g(x))\,\!$

應用鏈式法則，兩邊求導，得

${\frac {f'(x)}{f(x)}}=h'(x)\ln(g(x))+h(x){\frac {g'(x)}{g(x)}}$

整理，得

$f'(x)=f(x)\times {\Bigg \{}h'(x)\ln(g(x))+h(x){\frac {g'(x)}{g(x)}}{\Bigg \}}=g(x)^{h(x)}\times {\Bigg \{}h'(x)\ln(g(x))+h(x){\frac {g'(x)}{g(x)}}{\Bigg \}}.$

與將函數f看做指數函數，直接運用鏈式法則所得結果相同。

參見

• 對數恆等式

外部連結

• 网易公开课：对数微分法. 網易. [2014-11-26]. （原始內容存檔於2020-01-07）. 
• 对数之微分法（高中文理科）. Youtube. [2014-11-26]. （原始內容存檔於2016-03-14）. 
• Differentiation by taking logarithms – Teach yourself. mathcentre.ac.uk. [2012-01-03]. （原始內容存檔於2020-10-26）. 
• Logarithmic differentiation. [2009-03-10]. （原始內容存檔於2020-11-27）. 
• Calculus I – Logarithmic differentiation. [2009-03-10]. （原始內容存檔於2021-01-03）.