曲面積分

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數學上,曲面積分(面積分)是在曲面上的定積分(曲面可以是空間中的彎曲子集);它可以視為和線積分相似的雙重積分。給定一個曲面,可以在上面對純量場(也就是實數值的函數)進行積分,也可以對向量場(也就是向量值的函數)積分。

面積分在物理中有大量應用,特別是在電磁學經典物理學中。

面積分的定義依賴於將曲面細分成小的面積元。
單個面積元的圖示。這些面積元通過極限過程成為無窮小的元素以逼近曲面。

純量場的面積分[編輯]

考慮定義在曲面S上的實函數 f,計算面積分的一個辦法是將曲面分割成很多小片,假設函數 f 在每小片的變化不大,且每個小片的近似計算的面積跟實際面積誤差不大,任意取每片中函數 f 的值,然後乘以小片的近似面積,最後全部加起來得到一個值,當這種分割越來越細時,如果這值趨近一個實數,我們稱這實數為實數值函數 f 在曲面 S 上的面積分。

要找到面積分的直接公式,首先需要參數化曲面S,也即在S上建立坐標系,就像球面上的經緯度。令參數化為x(s, t),其中(s, t)在某個平面上的區域T中變化。則 f 在曲面 S 的面積分為


\iint_S f \,dS 
= \iint_T f(\mathbf{x}(s, t)) \left|\frac{\partial \mathbf{x}}{\partial s}\times \frac{\partial \mathbf{x}}{\partial t}\right| ds\, dt

其中 \textstyle \left|\frac{\partial \mathbf{x}}{\partial s}\times \frac{\partial \mathbf{x}}{\partial t}\right|x(s, t)的偏導數外積這向量的長度,而 \textstyle \left|\frac{\partial \mathbf{x}}{\partial s}\times \frac{\partial \mathbf{x}}{\partial t}\right|dudv 在微分幾何裡又叫作流形 S 的體積元素(Volume element)。

例如,如果要找出某個函數(z=f\,(x,y))形狀的曲面面積,就有


A = \iint_S \,dS 
= \iint_T \left|\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial x}\times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial y}\right| dx\, dy

其中\mathbf{r}=(x, y, z)=(x, y, f(x,y))。所以,\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial x}=(1, 0, f_x(x,y)),且\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial y}=(0, 1, f_y(x,y))。因此

\begin{align}
A
&{} = \iint_T \left\|\left(1, 0, {\partial f \over \partial x}\right)\times \left(0, 1, {\partial f \over \partial y}\right)\right\| dx\, dy \\
&{} = \iint_T \left\|\left(-{\partial f \over \partial x}, -{\partial f \over \partial y}, 1\right)\right\| dx\, dy \\
&{} = \iint_T \sqrt{\left({\partial f \over \partial x}\right)^2+\left({\partial f \over \partial y}\right)^2+1}\, \,  dx\, dy
\end{align}

這就是一般以 (x,y,f(x,y)) 為參數的曲面其面積的標準公式。很容易認出第二行中的向量是曲面的法向量

注意,因為外積的存在,這裡的公式只在曲面嵌入在三維空間中時適用。

向量場的面積分[編輯]

曲面上的向量場。

考慮S上的向量場v,對於每個S上的點xv(x)是一個向量。想像一個穿過S的液體流,使得v(x)決定液體在x的速度。則流量定義為單位時間穿過S的液體量。

這個解釋意味著如果向量場和S在每點相切,則流量為0,因為液體平行S流動,從而不進不出。這也意味著如果v不僅僅沿著S流動,也即,如果v既有切向分量也有法向分量,則只有法向分量對流量作出貢獻。基於這個推理,要找出流量,我們必須取vS上每點的單位法向量點積,這就給出了一個純量場,然後就可以用上述方式積分。公式如下

\int_S {\mathbf v}\cdot \,d{\mathbf {S}} = \int_S ({\mathbf v}\cdot {\mathbf n})\,dS=\iint_T {\mathbf v}(\mathbf{x}(s, t))\cdot \left({\partial \mathbf{x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf{x} \over \partial t}\right) ds\, dt.

右手邊的叉積是由參數化所決定的法向量。

該公式定義為向量場vS上的面積分。

微分2-形式的面積分[編輯]

 \omega= f_{x} dy  \wedge dz + f_{y} dz  \wedge dx+f_{z} dx \wedge dy

為定義在曲面S上的2階微分形式,並令

\mathbf{x} (s,t)=( x(s,t), y(s,t), z(s,t))\!

為一保定向的在曲面 S 上的參數化,其中(s,t) \in D\subseteq \mathbb{R}^2。利用變數變換,則 \omegaS上的面積分變成

\iint_D \left[ f_{x} ( \mathbf{x} (s,t))\frac{\partial(y,z)}{\partial(s,t)} + f_{y} ( \mathbf{x} (s,t))\frac{\partial(z,x)}{\partial(s,t)}+ f_{z}(\mathbf{x} (s,t))\frac{\partial(x,y)}{\partial(s,t)} \right]\, ds dt

其中

{\partial \mathbf{x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf{x} \over \partial t}=\left(\frac{\partial(y,z)}{\partial(s,t)}, \frac{\partial(z,x)}{\partial(s,t)}, \frac{\partial(x,y)}{\partial(s,t))}\right)

S的法向量。利用微分形式(2-form)的變數變換,我們有

\int_S \omega=\iint_S (f_x, f_y, f_z)\cdot d\mathbf{S}=\iint_S (f_x, f_y, f_z)\cdot \mathbf{n}\, dS


也就是說,對 \omega 該2-形式的積分和以f_xf_yf_z.為分量的向量場的面積分相同。

涉及面積分的定理[編輯]

面積分中很多有用的結果可以用微分幾何向量微積分導出,例如散度定理及其推廣斯托克斯定理

進階問題[編輯]

注意面積分的定義中用到曲面S的參數化。而給定曲面可以有多種參數化。例如,如果移動球面上南極和北極的位置,所有球面上的點的經度和緯度都會改變。很自然就有面積分是否依賴於給定參數化的問題。對於純量場的積分,答案很簡單:無論參數化為何,面積分不變。

對於向量場,情況複雜一些,因為積分時涉及到曲面的法向量。如果兩個參數化下法向量的定向相同,則積分值不變。如果法向量定向相反,則積分值相反。因此,不需要規定特定的參數化,但是對於法向量,不同的參數化的定向必須保持一致。

另外一個問題是,有時曲面沒有覆蓋整個曲面的單一參數化;譬如對於有限長的圓柱面就是這樣。一個直接的解決辦法就是將曲面切成幾片,在每一片上求面積分,然後加起來。這就是正確的辦法,但是對向量場積分的時候,必須小心,要讓每個小片的法向量定向和周圍的一致。對於柱面來講,也就是讓所有片的法向量向外指。

最後一個問題是,有些曲面沒有一個一致的法向量(譬如莫比烏斯帶)。對於這樣的曲面,無法找到一致的定向。這樣的曲面稱為不可定向的,在其上無法進行向量場的積分。

參看[編輯]

參考[編輯]

  • Leathem, J. G. Volume and Surface Integrals Used in Physics. Cambridge, England: University Press, 1905

外部連結[編輯]